posso confiar nesta integral tripla numérica da Matlab?

Pessoas da Ciência da Computação:

Originalmente, eu postei essa pergunta no Math Stack Exchange e alguém comentou que eu poderia obter respostas "muito melhores" aqui:

Eu sou um novato em métodos numéricos e Matlab. Estou tentando avaliar a seguinte soma de duas integrais triplas (obviamente pode ser escrita de maneira mais simples, mas você ainda não pode avaliar simbolicamente (?)). Estou tendo problemas para obter o para trabalhar aqui, então eu relutantemente o dividi em pedaços aqui: quero encontrar a soma de $\LaTeX$

\frac{2}{((1 / 0.3) - 1)^{2}} (\int_{1}^{1 / 0.3} \int_{1}^{r_{1}} \int_{0}^{r_{1} - r_{0}} F_{1} (r_{0}, r_{1}, t) \exp (- \frac{(0.3)^{2} t^{2}}{4}) d t d r_{0} d r_{1}),

$\frac{2}{((1/0.3) - 1)^2}\left(\int_1^{1/0.3}\int_1^{r_1}\int_0^{r_1-r_0}F_1(r_0,r_1,t)\exp(-\frac{(0.3)^2 t^2}{4})\,dt\,dr_0\,dr_1 \right),$

\frac{2}{((1 / 0.3) - 1)^{2}} (\int_{1}^{1 / 0.3} \int_{1}^{r_{1}} \int_{r_{1} - r_{0}}^{r_{1} + r_{0}} F_{2} (r_{0}, r_{1}, t) \exp (- \frac{(0.3)^{2} t^{2}}{4}) d t d r_{0} d r_{1}),

$\frac{2}{((1/0.3) - 1)^2}\left(\int_1^{1/0.3}\int_1^{r_1}\int_{r_1-r_0}^{r_1+r_0} F_2(r_0,r_1,t)\exp(-\frac{(0.3)^2 t^2}{4})\,dt\,dr_0\,dr_1 \right),$

Onde

F_{1} (r_{0}, r_{1}, t) = \frac{t^{2} r_{0}^{3} * (0.3)^{3}}{2 r_{1}^{3} \sqrt{π}}

$F_1(r_0,r_1,t)=\frac{t^2 r_0^3*(0.3)^3}{2r_1^3\sqrt{\pi}}$

F_{2} (r_{0}, r_{1}, t) = \frac{(0.3)^{3} π^{3 / 2} (r_{0} + r_{1} - t)^{4} (t^{2} + 2 t (r_{0} + r_{1}) - 3 (r_{1} - r_{0})^{2})^{2}}{288 (\frac{4}{3} π r_{0}^{3}) (\frac{4}{3} π r_{1}^{3})} .

$F_2(r_0,r_1,t)=\frac{(0.3)^3\pi^{3/2}(r_0+r_1-t)^4 (t^2+2t(r_0+r_1)-3(r_1-r_0)^2)^2}{288(\frac{4}{3}\pi r_0^3)(\frac{4}{3}\pi r_1^3)}.$

EDIT (2 de março de 2013): Alguém respondeu que o Mathematica fazia as integrais simbolicamente. Eu apenas tentei fazer isso (com versões simplificadas das integrais) e o Mathematica só conseguiu fazer as duas externas da primeira e parou na segunda. Gostaria muito de receber alguma ajuda. Aqui está o que eu fiz .:

Eu tentei avaliar

via

\int_{1}^{2} \int_{1}^{r_{2}} \int_{0}^{r_{2} - r_{1}} \frac{r_{1}^{3} t^{2} \exp (- t^{2})}{r_{2}^{3}} d t d r_{1} d r_{2}

$\int_1^2 \int_1^{r_2} \int_0^{r_2-r_1} \frac{r_1^3 t^2 \exp(-t^2)}{r_2^3}\,dt\,dr_1\,dr_2$

Integre [r1 ^ 3 / r2 ^ 3 * t ^ 2 * Exp (-t ^ 2), {t, 0, r2 - r1}, {r1, 1, r2}, {r2, 1, 2}]

e Mathematica retorna (tive problemas com o aqui porque o resultado é longo. Eu quebrei em duas equações. se alguém souber uma boa maneira de exibir isso, por favor me diga): $\LaTeX$

\int_{1}^{2} \frac{1}{64 r 2^{2}} e^{- 1 - r 2^{2}} (2 e^{2 r 2} (25 + r 2 (19 + 2 r 2 (1 + r 2))) -

$\int_1^2 \frac{1}{64r2^2} e^{-1-r2^2}(2e^{2r2}(25+r2(19+2r2(1+r2)))-$

e^{1 + r 2^{2}} (32 r 2 (2 + r 2^{2})) + \sqrt{π} (11 + 4 r 2^{2} (9 + r 2^{2})) Erf [1 - r 2]) d r 2.

$e^{1+r2^2}(32r2(2+r2^2)) +\sqrt{\pi}(11+4r2^2(9+r2^2))\operatorname{Erf}[1-r2])\,dr2.$

Então eu tentei avaliar

\int_{1}^{2} \int_{1}^{r_{2}} \int_{r_{2} - r_{1}}^{r_{2} + r_{1}} \dots

$\int_1^2\int_1^{r_2}\int_{r_2-r_1}^{r_2+r_1} \ldots \qquad \qquad \qquad$

\dots \frac{\exp (- t^{2}) (r_{1} + r_{2} - t)^{4} (t^{2} + 2 t (r_{1} + r_{2}) - 3 (r_{2} - r_{1})^{2})^{2}}{r_{1}^{3} r_{2}^{3}} d t d r_{} d r_{2}

$\ldots\frac{\exp(-t^2)(r_1+r_2-t)^4(t^2+2t(r_1+r_2)-3(r_2-r_1)^2)^2}{r_1^3 r_2^3}\,dt\,dr_\,dr_2$

usando

Integre [(r1 + r2 - t) ^ 4 * (t ^ 2 + 2 * t * (r1 + r2) - 3 * (r2 - r1) ^ 2) ^ 2 * Exp [-t ^ 2] / r1 ^ 3 / r2 ^ 3, {r2, 1, 2}, {r1, 1, r2}, {t, r2-r1, r2 + r1}]

agora mesmo, e o Mathematica não retornou uma resposta após cerca de meia hora (mas estou tendo problemas de rede de computadores no momento e eles podem ser os culpados).

[FIM DE EDIÇÃO DE 2 DE MARÇO]

$0.007164820144202$

Sei que o Matlab é um bom software, mas ouvi dizer que as integrais triplas numéricas são difíceis de executar com precisão, e os matemáticos devem ser céticos, portanto, quero uma maneira de verificar a precisão dessa resposta. As integrais fornecem o valor esperado de um determinado experimento (se alguém quiser, posso editar esta pergunta para descrever o experimento): implementei o experimento no Matlab usando números gerados aleatoriamente, um milhão de vezes e calculei a média dos resultados. Repeti esse processo quatro vezes. Aqui estão os resultados (peço desculpas se usei a palavra "julgamento" incorretamente):

Teste 1: $0.007133292603256$

Teste 2: $0.007120455071989$

Teste 3: $0.007062595022049$

Teste 4: $0.007154940168452$

Teste 5: $0.007215000289130$

Embora cada teste tenha usado um milhão de amostras, os valores da simulação concordam apenas no primeiro dígito significativo. Eles não estão próximos o suficiente um do outro para eu determinar se a integral tripla numérica é precisa.

Então, alguém pode me dizer se posso confiar no resultado do "triplequad" aqui e sob que circunstâncias alguém pode confiar nele em geral?

Uma sugestão que recebi no Math Stack Exchange foi tentar outro software como Mathematica, Octave, Maple e SciPy. Esse é um bom conselho? As pessoas realmente fazem trabalho numérico no Mathematica e Maple? O Octave é uma espécie de clone do Matlab, então posso assumir que ele usa os mesmos algoritmos de integração? Eu nunca ouvi falar do SciPy antes e gostaria de ter alguma opinião sobre isso.

UPDATE: Alguém do Math Stack Exchange fez isso no Maple e conseguiu $0.007163085468$ . Isso é concordância com três números significativos. Esse é um bom sinal.

Além disso, eu gostaria de receber sugestões sobre como inserir expressões longas e com várias linhas no $\LaTeX$ no Stack Exchange. Você pode usar o ambiente "alinhado" aqui? Eu tentei e não consegui fazê-lo funcionar.

matlab

— Stefan Smith
fonte

Seus resultados de simulação são perfeitamente consistentes com o valor numérico retornado pelo Matlab: sua média de

0.00713726

$0.00713726$ é apenas

- 1.11

$-1.11$ erros padrão menores do que o Matlab retornou. FWIW, o Mathematica retorna

0.00716308537 \dots

$0.00716308537\ldots$ . Também pode avaliar essas integrais simbolicamente em termos de polinômios e funções de erro.

— whuber

@whuber Obrigado. Eu poderia jurar que tentei simbolicamente no Maple e o Maple não conseguiu. Tentarei novamente no Maple e, se não funcionar, tentarei no Mathematica. Aliás, fiz uma integral semelhante no Maple e recebi uma enorme resposta simbólica. Parecia ser uma soma e diferença de números muito grandes cujo total geral era bastante pequeno. Eu suspeito que o erro de arredondamento foi provavelmente na resposta final. Em um problema como esse, você deve usar a resposta simbólica ou apenas a integral numericamente?

— Stefan Smith

Respostas simbólicas têm a vantagem de serem combinações de funções que (geralmente) podem ser computadas com eficiência com precisão arbitrária. Geralmente, também, a solução simbólica também se presta à recomputação rápida quando os parâmetros são variados. Por esses motivos, geralmente vale a pena procurar uma solução simbólica.

— whuber

@whuber: Tentei fazer integrais essencialmente equivalentes (alterar algumas constantes e remover algumas constantes multiplicativas) no Mathematica, e o Mathematica só podia fazer as duas integrações externas da primeira integral e parece ter parado na segunda. Publiquei meu código e resultados acima.

— Stefan Smith

Re A edição de 2 de março: Ao reduzir a integral tripla simbolicamente para uma única integral (na primeira metade de suas integrais), você conseguiu muito. O integrando é muito bem comportado e pode ser integrado numericamente com extrema precisão em uma fração de segundo.

— #

Antes de tudo, não é o software (ou pelo menos não deveria) que determina a qualidade da solução de um problema, é a qualidade e a adequação do algoritmo aplicado. Você deve verificar qual algoritmo está sendo usado pelo triplequad no Matlab (eu acho que ele usa uma quadratura gaussiana adaptável aninhada). E você deve verificar quais são as tolerâncias solicitadas (tolerância absoluta e relativa necessária). As chances são de que, por padrão, ele solicite apenas $10^{-8}$ precisão relativa.

A resposta que vem do Maple é provavelmente feita pela Computer Algebra e talvez encontre uma solução fechada que foi avaliada usando um ponto flutuante de precisão dupla. Isso tem a vantagem de que você não está aproximando a integral por um somatório finito (e, portanto, introduzindo erros de aproximação), mas o Computer Algebra System encontrará uma expressão para a integral que poderá ser avaliada. Obviamente, deve-se tomar cuidado ao avaliar esta expressão (para arredondamento).

Se você quiser fazer isso com o SciPy, também precisará recorrer à quadratura gaussiana adaptável aninhada usando as rotinas subjacentes do Quadpack (Piessens et al.). No Octave, você terá a mesma abordagem. E não ficaria muito surpreso se o Matlab também usar o Quadpack como mecanismo de quadratura (já que é a referência).

— GertVdE
fonte

@GretVdE: Obrigado pela informação. Tentei avaliar a integral simbolicamente primeiro e o Maple não conseguiu (por isso era provavelmente impossível, usando funções padrão), então pedi ao Maple que o fizesse numericamente. Não sei qual algoritmo foi usado.

— Stefan Smith

@StefanSmith: você pode descobrir, definindo o infolevel em Maple: infolevel[`evalf/int`] := 4. Tem certeza de que a Mape não consegue encontrar uma solução fechada? A integral não parece ser muito complicada. Você poderia tornar sua folha de bordo pública em algum lugar?

— precisa saber é o seguinte

@ StefanSmith: Eu publicaria o código Maple na pergunta acima.

— precisa saber é o seguinte

Não posso fazer com que o Maple trabalhe no meu sistema no momento, mas tentei integrais equivalentes no Mathematica, e o Mathematica fez apenas as duas internas da primeira integral tripla e parou na segunda integral tripla. Por favor, veja a pergunta editada.

— Stefan Smith