Reorganizar uma matriz comum para bloquear a forma diagonal

Existe um algoritmo para reorganizar uma matriz na forma diagonal de bloco, dado que a matriz é de natureza diagonal de bloco, mas randomizada com uma escolha imprudente de base?

Em particular, existem módulos python para isso?

matrix python

— Máquina
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Deseja "reorganizar" a matriz por uma permutação ou por uma mudança de base?

— Christian Clason

Originalmente, pretendia permutar a base que acho fácil de executar. O caso da mudança de base pode ser feito com base em algum argumento físico se a matriz for um hamiltoniano, mas para alguma matriz geral, seria bastante difícil.

— Machine

Você pode estar interessado em Como posso reestruturar matrizes para ter elementos diferentes de zero perto da diagonal?

— Martin Thoma 31/03

Respostas:

A matriz é esparsa ou densa? Simétrico?

$n\times n$ $A$ $i$ $j$ $A_{ij} \neq 0$

O fato de sua matriz ter diagonal de bloco (até uma reordenação) significa que o gráfico não está conectado e descobrir quais vértices devem estar juntos em um bloco equivale a encontrar os componentes conectados do gráfico. Você pode fazer isso com uma pesquisa abrangente . Como a ordem inversa Cuthill-McKee de uma matriz é essencialmente uma pesquisa abrangente , provavelmente você pode encontrar o código Python de alguém para a ordem RCM e usá-lo diretamente ou modificá-lo para seus propósitos.

— Daniel Shapero
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Obrigado! Suponha que a matriz seja esparsa e simétrica (eremita).

— Machine

Toda matriz é diagonal de bloco em uma sábia escolha de base - isso é chamado de forma normal de Jordan , e a base é composta de seus autovetores generalizados. Se a matriz é simétrica, essa base é composta de vetores próprios, e você pode calculá-la usando, por exemplo, o algoritmo QR . O SciPy fornece o módulo linalg.qrpara calcular as decomposições QR necessárias. Caso contrário, você pode usar a decomposição de valor singular , que pode ser calculada usando linalg.svd.

— Christian Clason
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Usar a forma normal da Jordânia é uma péssima idéia, pois é numericamente instável . Uma escolha melhor seria uma decomposição de Schur , numericamente estável, ao custo de reorganizar sua matriz em uma que seja triangular superior.

— Geoff Oxberry

Claro, e eu não sugeri calculá-lo, exceto para matrizes simétricas, onde coincide com a decomposição de Schur (e pode ser calculada de maneira estável usando o algoritmo QR). Para matrizes não simétricas gerais, não conheço uma abordagem melhor para diagonalizar uma matriz que o SVD.

— Christian Clason

E esse é um bom ponto. Eu não diria que o SVD "diagonaliza" uma matriz. Embora produza uma decomposição que contém uma matriz diagonal, a diagonalização é tradicionalmente usada para se referir a uma transformação de similaridade (ou uma decomposição com base em uma transformação / mudança de base) que resulta em uma matriz diagonal (ou diagonal de bloco). SVD não é uma transformação de similaridade, embora seja uma decomposição excepcionalmente útil.

— precisa

Ponto tomado (e nesse sentido nem toda matriz é diagonalizável). Eu também apontaria que a diagonalização por uma transformação de similaridade não unitária pode ser muito instável.

— Christian Clason