Como a teoria funcional da densidade é dimensionada com o tamanho do sistema?

Teoricamente, como o tempo para fazer um cálculo da teoria funcional da densidade (DFT) com o número de elétrons? Estou interessado em implementações "típicas" de DFT, como VASP, ABINIT, etc., não códigos O (N).

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— Max Radin
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A resposta correta mais simples é que a DFT está em . Isso deriva da ideia de que você está diagonalizando um Hamiltoniano com dimensão proporcional ao número de eleições e a diagonalização é tecnicamente . $O(N_e^3)$ $O(n^3)$

Na realidade, a DFT é um monte de etapas e etapas diferentes limitam a taxa em diferentes contextos. Se nos restringirmos ao DFT de onda plana (PW) (VASP, ABINIT, QE e outros), poderemos fazer algumas afirmações mais fortes. Uma idéia importante a entender para os códigos PW DFT é que o Hamiltoniano nunca é armazenado como uma grande matriz; em vez disso, a ação do operador hamiltoniano é calculada e usada no que geralmente são diagonalizadores iterativos `internos '(gradiente conjugado, davidson, etc.). Esses diagonalizadores são formalmente , onde é o custo de calcular a ação do Hamiltoniano, mas, dado seu papel em um algoritmo autoconsistente maior, eles tendem a ter um desempenho muito mais rápido. $O(n_e MV)$ $MV$

O processo de calcular a ação do Hamiltoniano ocorre em algumas etapas:

O potencial local no espaço real requer uma FFT, $O(n_v \ln n_v)$
A projeção pode ocorrer no espaço real ou g, ou , respectivamente $O(n_a n_p)$ $O(n_a n_p n_v)$
O potencial não local é diagonal ou diagonal do bloco, ou , respectivamente $O(n_a n_p)$ $O(n_a n_p^2)$

tudo isso precisa acontecer uma vez por elétron (na verdade, função de onda); portanto, adicione um fator de a todos eles. $n_e$

Por alguns meios (Gram-Schmidt, por exemplo), as funções de onda (funções próprias do Hamiltoniano) devem ser mantidas ortogonais entre si, $O(n_e^2 n_v)$

Finalmente, as funções de onda precisam ser compostas em uma densidade de elétrons. Nos códigos PW, isso é realizado com uma última FFT por função de onda (e uma soma), . $O(n_e n_v \ln n_v)$

Observe que eu coloquei alguns 's diferentes : está relacionado ao volume (realmente, é o tamanho da base), é o número de projetores por átomo, é o número de átomos e o número de elétrons. Formalmente , e são linearmente relacionados entre si ( é um número inteiro pequeno), mas você pode imaginar aumentando o volume com número fixo de elétrons (adicionando vácuo nas geometrias da laje / fio) ou aumentando o número de projetores com número fixo de átomos e elétrons (usando um pseudo-potencial mais preciso). $n$ $n_v$ $n_p$ $n_a$ $n_e$ $n_v$ $n_a$ $n_e$ $n_p$

É comum que os problemas sejam limitados pela FFT; nesse caso, eles são efetivamente , que é uma resposta um tanto comum na literatura, se não tecnicamente correta. $O(n^2 \ln n)$

— Max Hutchinson
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Você realmente precisa da composição completa do produto, ou apenas de uma pequena parte do espectro?

— Victor Liu

Você precisa de funções próprias (geralmente ).

O (n_{e})

$O(n_e)$

n_{e} / 2

$n_e /2$

— precisa

Obrigado pela sua resposta! Você pode recomendar algum artigo que tenha discutido esse problema ou tenha realizado benchmarks?

— precisa

G. Kresse, Computational Materials Science 6, 15 (1996) é a introdução padrão ao VASP; você pode começar com a seção 6. RM Martin, Estrutura Eletrônica: Teoria Básica e Métodos Práticos (Cambridge Univ Pr, 2004) é uma ótima introdução à DFT (onda plana e outras), mas provavelmente é menos explícita quanto à complexidade.

— quer