Quais são os esquemas numéricos possíveis para uma equação de difusão com um termo de reação não linear?

Para algum domínio convexo simples em 2D, temos alguns satisfazem a seguinte equação: com certas condições de contorno de Dirichlet e / ou Neumann. Que eu saiba, aplicar o método de Newton em um espaço de elementos finitos seria uma maneira relativamente direta de resolver numericamente essa equação. $\Omega$ $u(x)$

- d i v (A \nabla u) + c u^{n} = f

$-\mathrm{div}(A\nabla u)+cu^n = f$

Minhas perguntas são: (1) Existe uma teoria de Sobolev para a boa postura da formulação variacional correspondente dessa equação assumindo a condição de limite de Dirichlet zero? Em caso afirmativo, que espaço Banach devemos considerar? (2) Quais são as possíveis abordagens numéricas para esse tipo de equação?

pde finite-element

— Shuhao Cao
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Por "possíveis abordagens numéricas", você está perguntando sobre discretização ou solucionadores algébricos?

— precisa

Eu vejo duas abordagens:

1) Arbitrário f (u). Simplesmente coloque f ~ f (u0) no lado direito da equação, prossiga com qualquer solucionador não linear; o esquema de pontos fixos é uma boa opção, porque você não tem jacobiano de qualquer maneira. Mais fácil de implementar e usar, o desempenho mais geral, mas possivelmente inferior, porque o jacobiano não pode ser explorado (geralmente é desconhecido).

2) f (u) decomposto em série (polinomial, Fourier). Mais difícil de implementar e usar, pode ser difícil / impossível para alguns itens especiais f. Mas, em troca, você pode calcular e explorar o jacobiano em um método semelhante a Newton, que geralmente resultará em desempenho superior.

— Dominik Lark
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f

$f$

u

$u$

u^{n}

$u^n$

Você deve adicionar u ^ n a f. Então você tem uma forma polinomial simples do termo de reação que é melhor tratada com a abordagem 2).

— Dominik Lark