Existem abordagens de divisão de operadores para PDEs multifísicos que alcançam convergência de alta ordem?

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Dada uma evolução PDE

{você}_{t} = UMA você + B você

$u_t = Au + Bu$

onde são operadores diferenciais (possivelmente não lineares) que não se deslocam, uma abordagem numérica comum é alternar entre resolver $A,B$

{você}_{t} = UMA você

$u_t = Au$

e

{você}_{t} = B você .

$u_t = Bu.$

A implementação mais simples disso é conhecida como divisão de Godunov e é precisa de 1ª ordem. Outra abordagem bem conhecida, conhecida como divisão de Strang, é de segunda ordem precisa. Existem métodos de divisão de operadores de ordem superior (ou abordagens alternativas de discretização multifísica)?

pde multiphysics operator-splitting

— David Ketcheson
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Os termos são rígidos ou não rígidos? Você tem uma função que aplica A e B ou apenas um algoritmo que avança o estado de

para

? No caso em que um é rígido e outro não, existem muitos métodos interessantes.

t^{n}

$t^n$

t^{n + 1}

$t^{n+1}$

— Jed Brown

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Entendi que a fórmula BCH era uma maneira sistemática de aproximar o exponencial da matriz de duas matrizes não comutativas.

— Matt Knepley
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Mas isso não leva a termos complexos, mesmo quando o PDE é real? As pessoas o usam para discretização superior à 2ª ordem?

— David Ketcheson

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Não da minha memória (ou da página da web). Isso leva a muitos comutadores. No corpo quântico de muitos corpos, há boas maneiras de simplificar essas expressões.

— Matt Knepley

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Se você considera os operadores gerais A e B e se deseja apenas realizar etapas positivas no tempo (que normalmente é necessário para resolver problemas parabólicos), existe uma barreira de ordem de 2, ou seja, usando qualquer tipo de divisão, não é possível obter uma taxa de convergência superior a dois. Uma prova elementar é dada em um artigo recente de S. Blanes e F. Casas, http://www.gicas.uji.es/Fernando/MyPapers/2005APNUM.pdf .

No entanto, existem várias maneiras, se você souber um pouco mais sobre o seu problema:

Suponha que você possa resolver suas equações ao contrário no tempo (o que é comum em, por exemplo, equações de Schrödinger), então existem muitas splings disponíveis, consulte o livro "Integração Numérica Geométrica" de Hairer, Lubich e Wanner.
Se seus operadores geram semigrupos analíticos, ou seja, você pode inserir valores complexos para t (típico para equações parabólicas), observou-se recentemente que é possível obter divisões de ordem superior entrando no plano complexo. Os primeiros artigos nessa direção são de E. Hansen e A. Ostermann, http://www.maths.lth.se/na/staff/eskil/dataEskil/articles/Complex.pdf , e F. Castella, P. Chartier , S. Descombes e G. Vilmart. A escolha de separações complexas que são "ideais", em certo sentido, é um tópico da pesquisa atual; você pode encontrar vários artigos sobre o tópico no arxiv.

Resumindo: se você colocar algumas suposições sobre o seu problema, poderá obter algo, mas se não, o pedido 2 será o máximo.

PS: Eu tive que retirar o link do Castella et al-paper devido à prevenção de spam, mas você pode encontrá-lo facilmente no google.

— Philipp Dörsek
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O grupo CCSE da LBNL usou recentemente métodos de Correção Adiada Espectral (SDC) em um fluxo de baixo número de mach com química complexa. Eles comparam os resultados do SDC com a divisão Strang e os resultados são muito promissores.

Aqui está um rascunho do documento com os detalhes: Uma estratégia de acoplamento de correção diferida para baixo fluxo de número Mach com química complexa

Observe que o esquema SDC é um esquema iterativo que converge para uma solução de disposição precisa de alta ordem, mas é construído a partir de métodos de primeira ordem.

— Matthew Emmett
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O erro de divisão pode, pelo menos em princípio, ser reduzido por métodos de correção diferida espectral. No entanto, essa parece ser uma área de pesquisa ativa e não é realmente algo pronto para uso geral.

— Brian
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2

Um novo recurso para esquemas de divisão de alta ordem que lista alguns pode ser encontrado aqui:

http://www.asc.tuwien.ac.at/~winfried/splitting/

— David Ketcheson
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