Resolvendo um sistema linear com argumentos de matriz

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Todos conhecemos os muitos métodos computacionais para resolver o sistema linear padrão

A x = b .

$Ax=b.$ No entanto, estou curioso para saber se existem métodos computacionais "padrão" para resolver um sistema linear mais geral (dimensão finita) da forma

L A = B,

$LA=B,$ onde, digamos,

A

$A$ é umamatriz

m_{1} \times n_{1}

$m_1\times n_1$ ,

B

$B$ é umamatriz

m_{2} \times n_{2}

$m_2\times n_2$ e

L

$L$ é um operador linear que leva

m_{1} \times n_{1}

$m_1\times n_1$ matrizes para

m_{2} \times n_{2}

$m_2\times n_2$ matrizes, o quenão envolve a vetorização das matrizes, ou seja, a conversão de tudo para o formato padrão

A x = b

$Ax=b$ .

A razão pela qual pergunto é que preciso resolver a seguinte equação para $u$ :

(R^{*} R + λ I) u = f

$(R^*R+\lambda I)u=f$ onde

R

$R$ é a 2d transformada de radônio,

R^{*}

$R^*$ é adjacente e

u

$u$ e

f

$f$ são 2d matrizes (imagens). É possível vetorizar essa equação, mas é uma dor, especialmente se formos para o 3D.

De um modo mais geral, e as matrizes $nD$ ? Por exemplo, resolver $LA=B$ onde $A$ e $B$ são matrizes 3D (também precisarei fazer isso com a transformação Radon em algum momento).

Agradecemos antecipadamente e sinta-se à vontade para me enviar para outro StackExchange, se achar necessário.

linear-algebra

— icurays1
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Você pode criar um pré-condicionador multinível eficaz e depois usar gradiente conjugado. Eu tenho um problema semelhante, onde isso é bastante eficaz e muito paralelizável. Se você quiser métodos diretos, considerar reduções forma schur como neste trabalho sobre a equação de Lyapunov: cs.cornell.edu/cv/ResearchPDF/Hessenberg.Schur.Method.pdf

— Nick Alger

Excelente, obrigado pela ref! Acabei de fazer o CG funcionar efetivamente, então estou feliz.

— usar o seguinte código

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$\mathbb{R}^n$ $\langle y, x\rangle\triangleq \mathop{\textrm{Re}}(y^Hx)$

Uma coisa que você deve ter cuidado ao implementar o CG (ou abordagens iterativas semelhantes) com operadores lineares gerais é implementar corretamente o acessório do seu operador linear. Ou seja, as pessoas geralmente acertam , mas cometem um erro ao implementar . $y=F(x)$ $z=F^*(y)$

Eu recomendo implementar um teste simples que aproveite a seguinte identidade: para qualquer e conformidade , Portanto, o que você faz é gerar valores aleatórios de e , executá-los através de suas operações avançadas e adjuntas, respectivamente, e calcular os dois produtos internos acima. Verifique se eles correspondem à precisão razoável e repita algumas vezes. $x$ $y$

⟨ y, F (x) ⟩ = ⟨ F^{*} (y), x ⟩ .

$\langle y, F(x) \rangle = \langle F^*(y), x \rangle.$

x

$x$

y

$y$

EDIT: o que você faz se o seu operador linear é simétrico? Bem, você também precisa verificar essa simetria. Portanto, use o mesmo teste, apenas observando que --- aplica a mesma operação a e . Obviamente, o OP possui um operador assimétrico e um simétrico para lidar com ... $F=F^*$ $x$ $y$

— Michael Grant
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Obrigado @ChristianClason! Sei por experiência própria como os erros frustrantes nos cálculos adjuntos podem ser. :) Em nosso pacote TFOCS, implementamos uma linop_test.mrotina por esse motivo. Esse pacote também suporta matrizes, matrizes e produtos cartesianos em espaços vetoriais.

— Michael Grant

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Como se vê, porque meu sistema é simétrico e definido positivamente (como meu operador linear é escrito como ), o gradiente conjugado pode ser adaptado para resolver iterativamente esse tipo de equação. A única modificação ocorre ao calcular produtos internos - ou seja, um cálculo típico de produto interno no CG se parece com ou . Na versão modificada, usamos o produto interno Frobenius, que pode ser calculado somando as entradas do produto Hadamard (pointwise). Ou seja, $R^*R+\lambda I$ $r_k^Tr_k$ $p_k^TAp_k$

⟨ A, B ⟩ = \sum_{i, j} A_{i j} B_{i j}

$\langle A,B\rangle=\sum_{i,j}A_{ij}B_{ij}$

Eu suspeito que isso funcionará perfeitamente quando eu atualizar para matrizes 3D, embora ainda não tenha visto o produto interno Frobenius definido em matrizes 3D (trabalharei com a premissa de que posso somar novamente o produto pontual).

Eu ainda estaria interessado em métodos mais gerais, se alguém souber de algum!

— icurays1
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