Ajustar um conjunto de pontos a outro por um movimento rígido

Não tenho muita certeza de como explicar esse problema com clareza, por isso, tenha paciência comigo. Eu tenho uma base de 3 vetores unitários ortonormais e uma posição, uma matriz de transformada 4x4 padrão em computação gráfica.

Também tenho vários pontos (compensações) nesse espaço que eu transformo para o espaço do mundo. Os pontos são então levemente perturbados e agora desejo encontrar a nova base que seja a mais próxima de representar os pontos perturbados.

Não é exatamente como encontrar componentes principais, porque quero que respeite as compensações originais. Se isso faz sentido. Como molas de cada novo ponto para suas respectivas posições iniciais. Acho que a resposta está na solução de um problema dos mínimos quadrados, mas examinei e agora minha cabeça dói.

Alguém pode explicar isso simplesmente para mim. Eu preferiria uma solução de formulário fechado, mas uma iterativa também ficaria bem. Muito obrigado

Inge Söderkvist (2009) tem uma boa descrição de como resolver o problema do movimento do corpo rígido por decomposição de valor singular (SVD).

Suponha que recebamos pontos 3D que após a perturbação tomem posições respectivamente. Procuramos um "movimento" rígido, isto é, uma rotação e translação combinadas, aplicadas aos pontos que minimizam a soma dos quadrados dos "erros":{ y 1 , ... , y n } R d x $\{x_1,\ldots,x_n\}$$\{y_1,\ldots,y_n\}$$R$$d$$x_i$

Pense nos pontos como colunas e na rotação como uma matriz ortogonal . A rigor, exigimos porque, como movimento contínuo, uma rotação preserva a "orientação" dos pontos, ou seja, não envolve refleti-los.$x_i,y_i$$R$$3\times 3$$\det(R)=1$

O primeiro passo é subtrair os respectivos meios dos pontos , que tem o efeito de "eliminar" (por enquanto) a tradução desconhecida . Ou seja, o problema se torna:$\overline{x},\overline{y}$$x_i,y_i$$d$

onde e . Aqui denota o grupo ortogonal especial de matrizes de rotação em 3D que podemos escolher , e a norma da matriz aqui denota a norma Frobenius , ou seja, a raiz quadrada da soma dos quadrados das entradas da matriz (como um Euclidiano). norma, mas nas entradas da matriz).$A = [x_1 - \overline{x},\ldots,x_n - \overline{x}]$$B = [y_1 - \overline{y},\ldots,y_n - \overline{y}]$$SO(3)$$R$$F$

Agora são ambas matrizes . A minimização acima é um problema ortogonal de Procrustes, permitindo apenas matrizes de rotação. A solução é dada pela decomposição do valor singular da matriz "covariância" :$A,B$$3\times n$$R$$C = BA^T$

onde são matrizes ortogonais e é a matriz diagonal de valores singulares . Pacotes de álgebra linear numérica como Matlab e Octave calcularão o SVD para você.$U,V$$S = \text{diag}(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)$$\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3 \ge 0$

Quando tivermos o SVD, defina onde o sinal no fator do meio é escolhido para fazer . Normalmente, uma aplicação no mundo real terá e, portanto, o sinal escolhido seria positivo. Caso contrário, significa que a melhor adaptação ortogonal (preservação da distância) aos novos pontos envolve uma reflexão e sugere a verificação dos dados quanto a erros.$R = U \text{diag}(1,1,\pm 1) V^T$$\det(R) = 1$$\det(UV^T) = 1$

Finalmente, definimos a tradução . Feito!$d = \overline{y} - R\overline{x}$

A variante de problemas ortogonais de Procrustes, onde apenas rotações são permitidas, também é objeto de outro artigo da Wikipedia sobre o algoritmo Kabsch . A notação nos artigos da Wikipedia difere da nossa ao multiplicar por à direita, e não (como aqui) à esquerda.$R$