O princípio máximo / mínimo da equação do calor é mantido pela discretização de Crank-Nicolson?

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Estou usando o esquema de diferenças finitas da Crank-Nicolson para resolver uma equação de calor 1D. Gostaria de saber se o princípio máximo / mínimo da equação do calor (ou seja, que o máximo / mínimo ocorre na condição inicial ou nos limites) também vale para a solução discretizada.

Isso provavelmente está implícito no fato de o Crank-Nicolson ser um esquema estável e convergente. Mas parece que você pode provar isso diretamente por meio de um argumento de álgebra linear usando as matrizes criadas a partir do estêncil Crank-Nicolson.

Eu apreciaria qualquer indicação para a literatura sobre isso. Obrigado.

— foobarbaz
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Oi foobarbaz, e bem-vindo ao scicomp! Presumo que o problema que você está resolvendo não tenha termos de origem, correto?

— Paul

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O princípio máximo para a Crank-Nicolson se manterá se para timestepe espaçamento da grade. Em geral, podemos considerar umesquema-da forma

μ ≐ \frac{k}{h^{2}} \leq 1 1

$\mu \doteq \frac{k}{h^2} \leq 1$

k

$k$

h

$h$

θ

$\theta$

onde

é a matriz laplaciana padrão e

. Se

{você}^{n + 1 1} = {você}^{n} + \frac{μ}{2} ((1 1 - θ) UMA {você}^{n} + θ UMA {você}^{n + 1 1})

$u^{n+1} = u^n + \frac{\mu}{2}\left( (1-\theta)Au^n + \theta Au^{n+1}\right)$

A

$A$

0 \leq θ \leq 1

$0 \leq \theta \leq 1$

, então o esquema é estável. (Isso pode ser facilmente demonstrado pelas técnicas de Fourier.) No entanto, o critério mais forte de que

μ (1 - 2 θ) \leq \frac{1}{2}

$\mu(1-2\theta) \leq \frac{1}{2}$

é necessário para que o princípio máximo seja mantido em geral.

μ (1 - θ) \leq \frac{1}{2}

$\mu(1-\theta) \leq \frac{1}{2}$

Para uma prova, consulte Soluções numéricas de equações diferenciais parciais de KW Morton . Em particular, veja as Seções 2.10 e 2.11 e o Teorema 2.2.

Também há uma boa maneira de ver que o princípio máximo não se aplica em geral à Crank-Nicolson sem uma restrição de . $\mu$

Considere a equação do calor em com uma discretização contendo 3 pontos, incluindo o limite. Vamos denota a discretização no instante temporal e ponto de grade . Assuma o limite de Dirichlet, de modo que para todos os . Então Crank-Nicolson reduz para $[0,1]$ $u_i^k$ $k$ $i$ $u^k_0 = u^k_2 = 0$ $k$ que pode ser ainda mais reduzido a

(1 1 - \frac{μ}{2} (- 2)) {você}_{1 1}^{n + 1 1} = (1 1 + \frac{μ}{2} (- 2)) {você}_{1 1}^{n},

$\left(1 - \frac{\mu}{2}(-2)\right)u^{n+1}_1 = \left(1 + \frac{\mu}{2}(-2)\right)u^n_1,$

{você}_{1 1}^{n + 1 1} = (\frac{1 1 - μ}{1 1 + μ}) {você}_{1 1}^{n} .

$u^{n+1}_1 = \left(\frac{1-\mu}{1+\mu}\right)u^n_1.$

Se considerarmos a condição inicial de , então temos $u_1^0 = 1$

{você}_{1 1}^{n} = {(\frac{1 1 - μ}{1 1 + μ})}^{n},

$u^n_1 = \left(\frac{1-\mu}{1+\mu}\right)^n,$

u_{1}^{n} \leq 1

$u^n_1 \leq 1$

u_{1}^{n} < 0

$u^n_1 < 0$

n

$n$

μ \leq 1

$\mu \leq 1$

μ \leq 1

$\mu \leq 1$

μ

$\mu$

Em resposta à solicitação de foobarbaz, adicionei um esboço da prova.

\begin{aligned} (1 1 + 2 θ μ) {você}_{j}^{n + 1 1} & = θ μ ({você}_{j - 1 1}^{n + 1 1} + {você}_{j + 1 1}^{n + 1 1}) \\ + (1 1 - θ) μ ({você}_{j - 1 1}^{n} + {você}_{j + 1 1}^{n}) \\ + [1 1 - 2 (1 1 - θ) μ] {você}_{j}^{n} \end{aligned}

$\begin{align*} (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j &= \theta\mu(u^{n+1}_{j-1} + u^{n+1}_{j+1})\\ &+ (1-\theta)\mu(u^n_{j-1} + u^n_{j+1})\\ &+ [1-2(1-\theta)\mu]u^n_j \end{align*}$

$\mu(1-\theta)\leq \frac{1}{2}$

$u^{n+1}_j$ $u^{n+1}_{j-1}$ $u^{n+1}_{j+1}$ $u^n_{j-1}$ $u^n_{j+1}$ $u^n_j$ $u^{n+1}_j$ $u^{n+1}_j$

\begin{aligned} (1 1 + 2 θ μ) {você}_{j}^{n + 1 1} & > θ μ ({você}_{j - 1 1}^{n + 1 1} + {você}_{j + 1 1}^{n + 1 1}) \\ + (1 1 - θ) μ ({você}_{j - 1 1}^{n} + {você}_{j + 1 1}^{n}) \\ + [1 1 - 2 (1 1 - θ) μ] {você}_{j}^{n} \\ = (1 1 + 2 θ μ) {você}_{j}^{n + 1 1} \end{aligned}

$\begin{align*} (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j &> \theta\mu(u^{n+1}_{j-1} + u^{n+1}_{j+1})\\ &+ (1-\theta)\mu(u^n_{j-1} + u^n_{j+1})\\ &+ [1-2(1-\theta)\mu]u^n_j\\ &= (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j \end{align*}$

$u^{n+1}_j$ $u$

— Ben
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Obrigado! Você conhece outra referência além de Morton? Não consigo acessar essas seções ou o teorema na visualização de livros do Google. Eu gostaria de entender a prova.

— Foobarbaz

@foobarbaz Não tenho outra referência à mão, mas adicionei um esboço da prova. Deixe-me saber se posso torná-lo mais claro.

— Ben

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Estabilidade significa que uma perturbação permanece limitada no tempo. Isso não significa que o princípio máximo seja satisfeito em um nível discreto; isso é uma questão diferente. A satisfação do princípio máximo discreto é suficiente, mas não é necessária para a estabilidade.

— chris
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