Usando iteração de ponto fixo para desacoplar um sistema de pde

Suponha que eu tenha um problema de valor limite:

\frac{d^{2} u}{d x^{2}} + \frac{d v}{d x} = f in Ω

$\frac{d^2u}{dx^2} + \frac{dv}{dx}=f \text{ in } \Omega$

\frac{d u}{d x} + \frac{d^{2} v}{d x^{2}} = g in Ω

$\frac{du}{dx} +\frac{d^2v}{dx^2} =g \text{ in } \Omega$

u = h in \partial Ω

$u=h \text{ in } \partial\Omega$

Meu objetivo é decompor a solução desse problema acoplado em uma sequência de PDE desacoplados. Para desacoplar o sistema, estou aplicando uma iteração de ponto fixo em uma sequência de aproximações $(u^k,v^k)$ forma que

\frac{d^{2} u^{k}}{d x^{2}} + \frac{d v^{k - 1}}{d x} = f

$\frac{d^2u^k}{dx^2} + \frac{dv^{k-1}}{dx}=f$

\frac{d u^{k - 1}}{d x} + \frac{d^{2} v^{k}}{d x^{2}} = g

$\frac{du^{k-1}}{dx} +\frac{d^2v^k}{dx^2} =g$

Teoricamente, isso me permitiria resolver ambas as equações como um PDE puramente elíptico. No entanto, nunca vi iterações de ponto fixo aplicadas aos PDE dessa maneira. Já vi iterações de ponto fixo aplicadas às equações numericamente discretizadas (método das diferenças finitas, método dos elementos finitos etc.), mas nunca diretamente às equações contínuas.

Estou violando algum princípio matemático flagrante ao fazer isso? Isso é matematicamente válido? Posso resolver o PDE acoplado como uma sequência de PDE desacoplado usando a iteração de ponto fixo aplicada ao problema da variável CONTINUOUS, em vez do problema da variável DISCRETE?

Neste ponto, não estou realmente preocupado se é prático usar esse método, mas se é teoricamente plausível. Qualquer comentário seria muito apreciado!

pde iterative-method

— Paulo
fonte

Na literatura do PDE hiperbólico, os métodos de divisão fracionária e de divisão por operador fazem o que você descreve acima.

— Geoff Oxberry

(u^{k}, v^{k})

$(u^k, v^k)$

(u^{k}, p^{k})

$(u^k, p^k)$

@ BillBarth: Sim! Eu apenas corrigi.

— Paul

@ GeoffOxberry: Acho que a divisão do operador tem um caráter muito diferente.

— anônimo

@ Paul: Eu posso pensar em pelo menos um outro problema em que "PDEs acoplados" são resolvidos através de uma iteração de ponto fixo (e não apenas formulados como problemas de ponto fixo): decomposição de domínio, veja, por exemplo, o método Neumann – Dirichlet. (a diferença aqui é que você tem dois PDEs, mas eles vivem em domínios diferentes e o acoplamento é apenas por meio de uma interface).

— anonymous

$C^{\infty}(\Omega)\times C^{\infty}(\Omega)$

\frac{d^{2} u^{k}}{d x^{2}} + \frac{d v^{k - 1}}{d x} = f \frac{d^{2} v^{k}}{d x^{2}} + \frac{d u^{k - 1}}{d x} = g

$\frac{\text{d}^2u^k}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d} v^{k-1}}{\text{d} x} =f\\ \frac{\text{d}^2v^k}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d} u^{k-1}}{\text{d} x} =g\\$ (mais condições de contorno).

É claro que, se essa sequência convergir, será uma solução do seu conjunto original de PDEs.

$x^k\to x^{k+1}$ $u^0$ $v^0$

‖ (\begin{matrix} u^{k} \\ v^{k} \end{matrix}) - (\begin{matrix} {\hat{u}}^{k} \\ {\hat{v}}^{k} \end{matrix}) ‖ \leq q ‖ (\begin{matrix} u^{k - 1} \\ v^{k - 1} \end{matrix}) - (\begin{matrix} {\hat{u}}^{k - 1} \\ {\hat{v}}^{k - 1} \end{matrix}) ‖

$\left\| \begin{pmatrix} u^k\\ v^k \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \hat{u}^k\\ \hat{v}^k \end{pmatrix} \right\| \le q \left\| \begin{pmatrix} u^{k-1}\\ v^{k-1} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \hat{u}^{k-1}\\ \hat{v}^{k-1} \end{pmatrix} \right\|$

| q | < 1

$|q|<1$

(u^{k - 1}, v^{k - 1})

$(u^{k-1}, v^{k-1})$

({\hat{u}}^{k - 1}, {\hat{v}}^{k - 1})

$(\hat{u}^{k-1}, \hat{v}^{k-1})$

Essa lógica funciona tanto no espaço contínuo quanto no discreto.

— Nico Schlömer
fonte

Não deveria ?

| q | < 1

$|q|<1$

— Paul