A equação de advecção com velocidade variável pode ser conservadora?


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Estou tentando entender um pouco melhor a equação de advecção com coeficiente de velocidade variável. Em particular, não entendo como a equação pode ser conservadora.

A equação de advecção ,

ut+x(vu)=0

Vamos interpretar u(x,t) como sendo a concentração de algumas espécies físicas ( cm3 ) ou alguma outra quantidade física que não pode ser criada ou destruída. Se integrarmos u(x,t) ao nosso domínio, devemos ficar constantes,

xminxmaxu(x,t)dx=constant

(É isso que quero dizer com ser conservador.)

Se agora permitimos que a velocidade seja uma função do espaço (e do tempo), v(x,t) , a regra da cadeia deve ser aplicada para fornecer,

ut+vux+uvx?=0

O termo final "parece" um termo de origem e é isso que acho confuso. Aumentará ou diminuirá a quantidade u dependendo da divergência do campo de velocidade.

Após essa pergunta , entendo como impor condições de contorno de conservação. No entanto, para a equação de advecção de velocidade variável , não entendo como as condições de contorno de conservação podem ser derivadas devido ao "termo-fonte" adicional que é introduzido pela aplicação da regra da cadeia. Essa equação pode ser conservadora? Em caso afirmativo, como as condições de contorno corretas podem ser aplicadas?

Respostas:


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A quantidade fundamental no transporte é o fluxo , para advecção. O teorema da divergência afirma quevu

Ω(vu)=Ω(vu)n.

Uma equação é conservadora quando preserva essa igualdade. Passando para 1D com e usando a equação , temosΩ=(a,b)ut+(vu)x=0

(abu)t=abut=ab(vu)x=vu|ab

onde o termo à direita é apenas a diferença de fluxo entre os limites esquerdo e direito.

Em relação à sua segunda observação, a forma não conservadora (sem divergência) é enganosa (e justificada apenas para soluções suaves). O produto não é um transporte conservador se não estiver livre de divergências (isto é, constante em 1D). Você deve manter a forma conservadora e resistir ao desejo de aplicar a regra da cadeia ao avaliar propriedades de conservação.vuv


Obrigado por uma resposta muito clara, mais uma vez, Jed! Acho que vou fazer uma pergunta de acompanhamento para isso, mas primeiro preciso tentar implementar sua sugestão.
boyfarrell
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