A equação de advecção com velocidade variável pode ser conservadora?

Estou tentando entender um pouco melhor a equação de advecção com coeficiente de velocidade variável. Em particular, não entendo como a equação pode ser conservadora.

A equação de advecção ,

$$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}(\boldsymbol{v}u) = 0$$

Vamos interpretar $u(x,t)$ como sendo a concentração de algumas espécies físicas ( $cm^{-3}$ ) ou alguma outra quantidade física que não pode ser criada ou destruída. Se integrarmos $u(x,t)$ ao nosso domínio, devemos ficar constantes,

$$\int_{x_{\text{min}}}^{x_{\text{max}}} u(x,t) dx = \text{constant}$$

(É isso que quero dizer com ser conservador.)

Se agora permitimos que a velocidade seja uma função do espaço (e do tempo), $\boldsymbol{v}(x,t)$ , a regra da cadeia deve ser aplicada para fornecer,

$$\frac{\partial u}{\partial t} + \boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x} + \underbrace{u\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial x}}_{\text{?}} = 0$$

O termo final "parece" um termo de origem e é isso que acho confuso. Aumentará ou diminuirá a quantidade $u$ dependendo da divergência do campo de velocidade.

Após essa pergunta , entendo como impor condições de contorno de conservação. No entanto, para a equação de advecção de velocidade variável , não entendo como as condições de contorno de conservação podem ser derivadas devido ao "termo-fonte" adicional que é introduzido pela aplicação da regra da cadeia. Essa equação pode ser conservadora? Em caso afirmativo, como as condições de contorno corretas podem ser aplicadas?

A quantidade fundamental no transporte é o fluxo , para advecção. O teorema da divergência afirma que$\mathbf v u$

$$\int_\Omega \nabla\cdot (\mathbf v u) = \int_{\partial \Omega} (\mathbf v u) \cdot \mathbf n .$$

Uma equação é conservadora quando preserva essa igualdade. Passando para 1D com e usando a equação , temos$\Omega = (a,b)$$u_t + (\mathbf v u)_x = 0$

$$\Big(\int_a^b u\Big)_t = \int_a^b u_t = -\int_a^b (\mathbf v u)_x = -\mathbf v u |_a^b$$

onde o termo à direita é apenas a diferença de fluxo entre os limites esquerdo e direito.

Em relação à sua segunda observação, a forma não conservadora (sem divergência) é enganosa (e justificada apenas para soluções suaves). O produto não é um transporte conservador se não estiver livre de divergências (isto é, constante em 1D). Você deve manter a forma conservadora e resistir ao desejo de aplicar a regra da cadeia ao avaliar propriedades de conservação.$\mathbf v \cdot \nabla u$$\mathbf v$