Pacotes de software simbólicos para expressões Matrix?

Sabemos que é simétrico e positivo-definido. Sabemos que é ortogonal:$\mathbf A$$\mathbf B$

Pergunta: simétrico e positivo-definido? Resposta: Sim.$\mathbf B \cdot\mathbf A \cdot\mathbf B^\top$

Pergunta: Um computador poderia ter nos dito isso? Resposta: Provavelmente.

Existem sistemas de álgebra simbólica (como o Mathematica) que manipulam e propagam fatos conhecidos sobre matrizes?

Edit: Para ser claro, eu estou fazendo esta pergunta sobre matrizes definidas abstratamente. Ou seja, eu não tenho entradas explícitas para e , só sei que elas são matrizes e têm atributos particulares como simétrico, definido positivo, etc.$A$$B$

Edit: Agora está no SymPy

$ isympy
In [1]: A = MatrixSymbol('A', n, n)
In [2]: B = MatrixSymbol('B', n, n)
In [3]: context = Q.symmetric(A) & Q.positive_definite(A) & Q.orthogonal(B)
In [4]: ask(Q.symmetric(B*A*B.T) & Q.positive_definite(B*A*B.T), context)
Out[4]: True

Resposta mais antiga que mostra outro trabalho

Então, depois de analisar isso por um tempo, foi o que eu encontrei.

A resposta atual para minha pergunta específica é "Não, não existe um sistema atual que possa responder a essa pergunta". No entanto, existem algumas coisas que parecem se aproximar.

Primeiro, Matt Knepley e Lagerbaer apontaram para o trabalho de Diego Fabregat e Paolo Bientinesi . Este trabalho mostra a importância potencial e a viabilidade desse problema. É uma boa leitura. Infelizmente, não sei exatamente como o sistema dele funciona ou do que ele é capaz (se alguém souber de outro material público sobre esse assunto, me avise).

Segundo, há uma biblioteca de álgebra tensorial escrita para o Mathematica chamada xAct, que lida com simetrias e simbolicamente. Ele faz algumas coisas muito bem, mas não é adaptado ao caso especial da álgebra linear.

Terceiro, essas regras são formalmente escritas em algumas bibliotecas para o Coq , um assistente automatizado de prova de teoremas (o Google pesquisa a álgebra linear / matricial coq para encontrar algumas). Este é um sistema poderoso que infelizmente parece exigir interação humana.

Depois de conversar com algumas pessoas que provam o teorema, elas sugerem procurar na programação lógica (ou seja, Prolog, que Lagerbaer também sugeriu) esse tipo de coisa. Que eu saiba, isso ainda não foi feito - eu posso brincar com isso no futuro.

Atualização: eu implementei isso usando o sistema Maude . Meu código está hospedado no github

Alguns cálculos de matriz simbólica (por exemplo, conclusão da matriz de bloco) podem ser feitos com o pacote NCAlgebra http://www.math.ucsd.edu/~ncalg/ (que é executado no mathematica).

Bergman http://servus.math.su.se/bergman/ é um pacote no Lisp com recursos semelhantes.

Alguns artigos relevantes:
http://math.ucsd.edu/~helton/osiris/COMPALG2000/ohRevisIJC.pdf
http://math.ucsd.edu/~thesis/thesis/dkronewitter/dkronewitter.pdf
http: // www. tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00207170600882346

CAS2x23x3$\mathbf B$

A questão então se torna: o que dizer de uma Nmatriz dimensional? Talvez você possa criar um esquema indutivo no qual N-1 x N-1for assumido verdadeiro e, em seguida, construir uma nova matriz de blocos com tamanho geral N x Npara provar que é positivo e definitivo e simétrico.

Portanto, a pergunta final, de qual software é mais adequado para a tarefa (se houver), minha experiência foi com ( MATLAB/MuPade Deriveainda o uso) e nenhum deles lida com vetores e matrizes muito bem. MATLABdivide tudo em componentes e Derivepode declarar, Non-scalarsmas não lhes aplica nenhuma regra de simplificação.

$\vec a \times (\vec b \times \vec c) = (\vec a \cdot \vec b)\vec c - (\vec a \cdot \vec c) \vec b$

Já faz um tempo desde a última vez que usei um desses pacotes, mas pensei que você poderia fazer isso em idiomas como o Mathematica através do uso de asserções. Algo como Assert [A, Symmetric] diz ao Mathematica que A é uma matriz simétrica, e assim por diante. No momento, não tenho acesso a nenhum desses itens úteis, portanto, isso deve ser verificado.

Maple 15 não pode fazê-lo. Não possui propriedade "Ortogonal" para matrizes (embora tenha Simétrico e PositivoDefinido).

No Mathematica, você pode pelo menos verificar essas propriedades para matrizes específicas. Por exemplo, a matriz Acomo você descreveu:

In[1]:= A = {{2.0,-1.0,0.0},{-1.0,2.0,-1.0},{0.0,-1.0,2.0}};
        {SymmetricMatrixQ[A],PositiveDefiniteMatrixQ[A]}
Out[2]= {True,True}

Para matriz B:

In[3]:= B = {{0, -0.80, -0.60}, {0.80, -0.36, 0.48}, {0.60, 0.48, -0.64}};
        Transpose[B] == Inverse[B]
Out[4]= True

Então:

In[5]:= c = B.A.Transpose[B];
        {SymmetricMatrixQ[c],PositiveDefiniteMatrixQ[c]}
Out[6]= {True,True}

Matrizes Mathematica e documentação de álgebra linear