Pressão como multiplicador de Lagrange

Nas equações incompressíveis de Navier-Stokes,

\begin{aligned} ρ (u_{t} + (u \cdot \nabla) u) & = - \nabla p + μ Δ u + f \\ \nabla \cdot u & = 0 \end{aligned}

$\begin{align*} \rho\left(\mathbf{u}_t + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u}\right) &= - \nabla p + \mu\Delta\mathbf{u} + \mathbf{f}\\ \nabla\cdot\mathbf{u} &= 0 \end{align*}$ o termo pressão é frequentemente referido como um multiplicador de Lagrange que impõe a condição de incompressibilidade.

Em que sentido isso é verdade? Existe uma formulação das equações incompressíveis de Navier-Stokes como um problema de otimização sujeito à restrição de incompressibilidade? Em caso afirmativo, existe um análogo numérico no qual as equações do fluxo de fluido incompressível são resolvidas dentro de uma estrutura de otimização?

— Ben
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- μ Δ u + \nabla p = f \nabla \cdot u = 0

$-\mu \Delta u + \nabla p = f \\ \nabla \cdot u = 0$

min_{u} \frac{μ}{2} ‖ \nabla u ‖^{2} - (f, u) so that \nabla \cdot u = 0.

$\min_u \frac\mu 2 \|\nabla u\|^2 - (f,u) \\ \text{so that} \; \nabla\cdot u = 0.$

Essa equivalência entre problemas não é explorada em nenhum esquema numérico (que eu saiba), mas é uma ferramenta importante na análise porque mostra que as equações de Stokes são essencialmente a equação de Poisson em um subespaço linear. O mesmo vale para as equações dependentes do tempo de Stokes (que corresponde à equação do calor no subespaço) e pode ser estendido às equações de Navier-Stokes.

— Wolfgang Bangerth
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Obrigado por uma ótima resposta. Você sabe se essa formulação pode ser estendida ao caso dependente do tempo?

— Ben

Sim, como eu disse, isso leva a uma equação de calor no subespaço das funções livres de divergência.

— Wolfgang Bangerth

Desculpe, eu deveria ter sido mais claro. Existe uma maneira de reformular as equações dependentes do tempo de Stokes (ou Navier-Stokes) como um problema de otimização, possivelmente de uma funcionalidade integrada ao longo do tempo?

— Ben

Não é um problema de otimização - a solução da equação do calor não minimiza nada (embora seja o ponto estacionário de uma função lagrangiana). Mas você pode formular as equações de Stokes da seguinte maneira: Encontre para que para todos sujeito à restrição de que . Observe que eu escolhi o espaço de teste menor que o espaço de teste e, portanto, os lados esquerdo e direito da equação variacional não serão iguais. A diferença é a pressão.

u \in H_{div}

$u \in H_\text{div}$

(u_{t}, φ) + (\nabla u, \nabla φ) = (f, φ)

$(u_t,\varphi)+(\nabla u,\nabla\varphi)=(f,\varphi)$

φ \in {v \in H_{div} : \nabla \cdot v = 0}

$\varphi\in \{v\in H_\text{div}: \nabla \cdot v = 0\}$

\nabla \cdot u = 0

$\nabla \cdot u = 0$

— Wolfgang Bangerth