Estudo da independência da malha: a malha independente é realmente a melhor?

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Estou executando um estudo de independência de malha. Começo com a Malha 1 e prossigo até a Malha 4 , sempre duplicando o número de células na malha. Paralelamente, estou comparando meus resultados computacionais com dados experimentais. M. 1 mostra resultados ruins. O M. 2 mostra uma melhora significativa e uma boa correspondência com os resultados experimentais. M. 3 e M. 4 produzem resultados idênticos, que são apenas ligeiramente diferentes de M. 2 . Parece sensato escolher o M. 3 como minha malha final. Mas parece que os resultados são muito suaves, perdendo alguns dos detalhes, produzidos por M. 2 (e observado nas experiências).

Pode realmente haver algum tipo de sobrecorreção ? Será que a solução independente de malha não é necessariamente a melhor?

fluid-dynamics mesh

— AL Verminburger
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Não. Como o tamanho da malha , a solução em uma dada malha converge para a solução da equação diferencial (assumindo um PDE bem posicionado e uma discretização adequada). Consequentemente, se a sua solução discreta no M2 estiver mais próxima dos resultados experimentais do que a do M3 ou M4, existem apenas duas possibilidades: $h\rightarrow 0$

A equação diferencial não descreve adequadamente o mundo real porque sua solução não está próxima do que você mediu.
Seus dados medidos não estão corretos.

Essencialmente, o que você está vendo é que a solução exata da equação diferencial (aparentemente bem aproximada nas malhas M3 e M4) não corresponde às suas medidas. Qual deles está errado é que você descubra agora.

(Tudo isso foi escrito sob a premissa de que seu esquema numérico está realmente correto e, portanto, que sua solução numérica em malhas finas é uma boa aproximação à solução exata.)

— Wolfgang Bangerth
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Obrigado Wolfgang. Provavelmente, há um pouco de verdade nas duas explicações: (i) estou usando um modelo multifásico que não está necessariamente capturando totalmente as interações complexas de partículas fluidas; (ii) nas experiências, os dados 3D foram obtidos usando a tecnologia 2D. Independentemente, pelo que eu entendo, a malha independente é a melhor.

— AL Verminburger

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Afirmo que a malha independente é a melhor. Digamos que a solução real seja e seu solucionador entregue um dependendo do parâmetro de malha . Em seguida, você pode fazer a estimativa da distância de à solução real que é a solução do modelo usado para descrever matematicamente o problema. $U$ $u_h$ $h$ $u_h$

‖ U - u_{h} ‖ \leq ‖ U - u_{m} ‖ + ‖ u_{m} - u_{h} ‖,

$\|U-u_h \| \leq \|U-u_m \| + \|u_m - u_h\|,$

u_{m}

$u_m$

Suponha o erro de modelagem, independente da malha, é de tamanho constante , enquanto o erro numérico satisfaz uma estimativa do tipo , com . Assim, o erro medido pode ser expresso como Reduzindo o tamanho da malha, ou seja, , haverá um ponto em que o erro numérico ficará abaixo do erro de modelagem e as diferenças na solução real não serão mais alteradas. $\| U - u_m\|$ $C_m$ $\|u_m - u_h\| < C_h h^p$ $p\in \mathbb N$

‖ U - u_{h} ‖ \approx C_{m} + C_{h} h^{p} .

$\|U-u_h\| \approx C_m + C_hh^p.$

h \to 0

$h\to 0$

Nesse ponto, sua solução é chamada de independente de malha, pois o erro de modelagem domina o erro numérico.

Assim, sua observação provavelmente se deve a um cancelamento feliz de erros. Mas eu não diria isso, pois não vejo uma justificativa matemática para o uso de discretizações mais grosseiras, a menos que alguém enfrente instabilidades.

Prefiro considerar uma remodelação ...

— Jan
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Ah, como o @WolfgangBangerth mencionou, as medições também estão sujeitas a fontes de erro.

— Jan