Método das diferenças finitas de Shortley-Weller

você pode me dar um link para uma explicação boa e simples do esquema de diferenças finitas de Shortley-Weller? Tentei pesquisar no Google, mas tudo o que recebo são publicações acadêmicas (inacessíveis). Também tentei ler o capítulo dedicado (4.8) do livro de Wolfgang Hackbusch "Equações diferenciais elípticas", mas achei bastante difícil. Obrigado

Para Christian Clason: obrigado pela resposta, mas ainda há uma coisa que ainda não entendo: o que devo fazer para aplicar esse método a limites arbitrários, por exemplo, um aerofólio assimétrico em um fluxo?

finite-difference

— Michael
fonte

Editei a resposta para incluir as etapas básicas da implementação desse esquema; se houver algo em particular com o qual você tenha dificuldades, sinta-se à vontade para comentar a resposta.

— Christian Clason

A propósito, parece que você tem duas contas separadas, o que significa que não pode editar sua postagem original nem deixar comentários. A equipe do StackExchange pode fundi-los para você .

— Christian Clason

Até onde eu sei, esse esquema consiste apenas em substituir o estêncil de diferença finita uniforme próximo ao limite por um estêncil não uniforme (com pelo menos um ponto deslocado para ficar no limite). Basicamente, você pega seu domínio de formato arbitrário, coloca-o em uma caixa, discreta a caixa com uma grade uniforme, joga fora todos os pontos de grade que não têm pelo menos um vizinho dentro do domínio e muda os pontos de grade restantes para fora do domínio horizontal ou verticalmente (o que for mais curto), para que fiquem no limite. (A implementação real é muito mais entediante, é claro.)

Para obter o estêncil não uniforme em um dos nós próximo a um nó de limite, proceda-se de maneira semelhante a (uma) derivações do estêncil uniforme: Interpole a função (desconhecida) por um polinômio quadrático nos nós e faça o segundo derivado. Basta considerar o caso unidimensional com os nós . Então $x_1=x-h_1,x_2=x,x_3=x-h_2$

D_{h}^{2} u (x) \approx u (x - h_{1}) ℓ_{1}^{″} (x) + u (x) ℓ_{2}^{″} (x) + u (x + h_{2}) ℓ_{3}^{″} (x),

$D^2_h u(x) \approx u(x-h_1)\ell''_1(x) + u(x) \ell_2''(x) + u(x+h_2)\ell''_3(x),$

onde são os polinômios de Lagrange correspondentes aos nós. A computação dos derivativos produz $\ell_j=\Pi_{i\neq j}(x-x_i)/(x_j-x_i)$

D_{h}^{2} u (x) = \frac{2}{h_{1} (h_{1} + h_{2})} u (x - h_{1}) - \frac{2}{h_{1} h_{2}} u (x) + \frac{2}{h_{2} (h_{1} + h_{2})} u (x + h_{2})

$D^2_h u(x) = \frac{2}{h_1(h_1+h_2)} u(x-h_1) - \frac{2}{h_1h_2} u(x) + \frac{2}{h_2(h_1+h_2)} u(x+h_2)$

como reivindicado. (Você também pode usar a forma Newton do polinômio interpolador, que simplifica o cálculo das derivadas, especialmente para ordens mais altas.) Fazer o mesmo em e somar os estênceis dão a equação (4.8.7). $y$

Você pode encontrar exemplos mais detalhados em Randy Leveque Métodos de diferenças finitas para Ordinária e Equações Diferenciais Parciais (por exemplo, página 9) , ou em este post (que também contém código NumPy para calcular os coeficientes de dados arbitrária e ). Isso também é tratado em detalhes em Morton e Mayers, solução numérica de equações diferenciais parciais , seção 3.4. $h_1$ $h_2$

Como você trata os nós de limite depende de suas condições de limite. Para condições Dirichlet, proceda como faria para uma malha uniforme. Para condições de Neumann, você usa a abordagem acima (interpolação não uniforme - agora simultaneamente em e - e diferenciação) para aproximar a derivada normal no nó de fronteira para obter um estêncil local; ver Morton e Mayers, página 75 ss. $x$ $y$

— Christian Clason
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Se substituirmos por apenas então . Mas é derivado usando diferenças finitas, isto é, séries de Taylor. Você pode esclarecer como a interpolação de Lagrange pode coincidir com as diferenças finitas / séries de Taylor?

h_{1}, h_{2}

$h_1, h_2$

h

$h$

D_{h} = Δ_{h}

$D_h = \Delta_h$

Δ_{h}

$\Delta_h$

— sequência

Consequentemente, pode-se derivar aproximações de diferenças finitas como derivadas do polinômio de interpolação construído usando os nós do estêncil. Então, você pega os pontos do estêncil que deseja usar, constrói o polinômio de Lagrange e o diferencia para derivar a fórmula para a aproximação da derivada desejada.

— VorKir 23/02/19

@VorKir É notável, no entanto, que essas aproximações coincidam com as aproximações das séries de Taylor.

— sequência

@sequence Na verdade, uma vez que uma aproximação de Taylor é uma aproximação polinomial linear (quadrática etc.) a uma função em um ponto, o mesmo ocorre com o polinômio interpolador. Pelo teorema fundamental da álgebra, estes devem ser os mesmos. (Se você ainda estão céticos, lembre-se que os pontos para o estêncil não são escolhidos aleatoriamente.)

— Christian Clason

@ChristianClason Obrigado por esclarecer. De fato, eu não havia prestado atenção significativa ao fato de que ambas as aproximações são polinômios, que devem ser únicas e, portanto, sobre a aplicabilidade do teorema fundamental da álgebra.

— sequência