Quais são as diferenças entre Parareal, PITA e PFASST?

Os algoritmos Parareal, PITA e PFASST são técnicas de todo o domínio para paralelizar a solução de problemas dependentes do tempo no tempo.

1. Quais são os princípios orientadores por trás desses métodos?

2. Quais são as principais diferenças entre eles?

3. Posso dizer que um é baseado no outro? Como?

4. E as aplicações deles?

Sei que não haverá resposta para a pergunta "qual é melhor?", Mas é útil para mim uma boa compreensão de suas áreas de aplicação e condições de validação.

$G$$F$$G$$F$$U_n \approx u(t_n)$

$$u(t) = u_0 + \int_0^t f(\tau,u(\tau)) \,d\tau$$

$t_n$$t_{n+1}$$\dot{u} = f(u,t)$$G$$F$$G$$F$$F$$G$$G$$F$

$U_{n+1}^0$$n = 0 \ldots N-1$$N$$F(t_{n+1},t_n,U_n^k)$

$$U_{n+1}^{k+1} = G(t_{n+1}, t_n, U_n^{k+1}) + F(t_{n+1}, t_n, U_n^k) - G(t_{n+1}, t_n, U_n^{k})$$

$n = 0 \ldots N-1$$G$$F$

O método PITA é muito semelhante ao Parareal, mas mantém o controle de atualizações anteriores e atualiza apenas a condição inicial em cada processador de uma maneira que lembra os métodos do subespaço Krylov. Isso permite que a PITA resolva equações lineares de segunda ordem que a Parareal não pode.

O método PFASST difere dos métodos Parareal e PITA de duas maneiras fundamentais: primeiro, ele se baseia no esquema de escalonamento de tempo iterativo de Correção Adiada Espectral (SDC) e, em segundo, incorpora correções do Esquema de Aproximação Total ao propagador grosso e, de fato, ao PFASST pode usar uma hierarquia de propagadores (em vez de apenas dois). O uso do SDC permite que as iterações paralelas ao tempo e do SDC sejam hibridizadas, o que relaxa as restrições de eficiência do Parareal e do PITA. O uso de correções FAS permite muita flexibilidade na construção dos propagadores grossos do PFASST (tornar os propagadores grossos o mais barato possível ajuda a aumentar a eficiência paralela). As estratégias de aumento de volume incluem: aumento de tempo (menos nós SDC), aumento de espaço (para PDEs baseados em grade), aumento de operador e física reduzida.

Espero que isso descreva os fundamentos, diferenças e semelhanças entre os algoritmos. Por favor, veja as referências neste post para mais detalhes.

Em relação às aplicações, os métodos foram aplicados a uma ampla variedade de equações (órbitas planetárias, Navier-Stokes, sistemas de partículas, sistemas caóticos, dinâmica estrutural, fluxos atmosféricos etc.). Ao aplicar paralelismo de tempo a um determinado problema, você certamente deve validar o método de maneira apropriada para o problema que está sendo resolvido.