Calcular

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A função tem singularidade próxima de . Porém, essa singularidade pode ser levantada: para , deve-se ter , pois E, portanto, No entanto, a forma não é apenas definida em , também é numericamente instável nas proximidades desse ponto; a fim de avaliar para muito pequena numericamente, pode-se utilizar uma expansão de Taylor, ou seja, um truncamento da série de energia acima mencionado. $f \colon x \mapsto (e^x-1)/x$ $x = 0$ $x = 1$ $f(x) = 1$

e^{x} = \sum_{k = 0} \frac{x^{k}}{k!}

$e^x = \sum_{k=0} \frac{x^k}{k!}$

(e^{x} - 1) / x = \sum_{k = 1} \frac{x^{k - 1}}{k!}

$(e^x - 1)/x = \sum_{k=1} \frac{x^{k-1}}{k!}$

(e^{x} - 1) / x

$(e^x-1)/x$

x = 0

$x = 0$

f (x)

$f(x)$

x

$x$

P : A função tem um nome? Em outras palavras, isso é um problema comum? $f$

P : Alguém conhece uma biblioteca C / C ++ que lida bem com essa situação, ou seja, usa a expansão de Taylor de um grau apropriado próximo de 0 e a outra representação longe de zero?

c++ c

— anônimo
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Possivelmente, pode-se começar com a função que faz parte do padrão C99, e calcula precisão próximo de . $\mathtt{expm1}$ $e^x-1$ $x=0$

— n00b
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Esta é uma instância de erro de cancelamento. A biblioteca padrão C (a partir de C99) inclui uma função chamada expm1que evita esse problema. Se você usar em expm1(x) / xvez de (exp(x) - 1.0) / x, não terá esse problema (veja o gráfico abaixo). <code> fabs (expm1 (x) / x - (exp (x) - 1.0) / x) </code>

Os detalhes e a solução desse problema específico são discutidos detalhadamente na Seção 1.14.1 de Precisão e estabilidade de algoritmos numéricos . A mesma solução também é explicada na página 19 do artigo de W. Kahan, intitulado Quão fúteis são as avaliações irracionais do arredondamento na computação em ponto flutuante? . A implementação real da expm1biblioteca GNU C é diferente da abordagem descrita nas referências acima e está completamente documentada no código fonte .

— Juan M. Bello-Rivas
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1

Obrigado, é exatamente o que eu precisava! Infelizmente, só posso aceitar uma resposta ...

— anonymous

Claro! Nenhum problema :-)

— Juan M. Bello-Rivas

3

Para responder à sua primeira pergunta, não, a função não tem um nome (pelo menos não é amplamente conhecido).

Como outros já mencionaram, a melhor maneira de calcular a função é tratar vários casos especiais. É assim que qualquer biblioteca calcularia a função.

Caso 0: x = 0, retorne 1.
$|x|<\delta$ $1+x/2$ $\delta$ double2e-85e-4
Caso mais: retorno expm1(x)/x.

Você pode ser mais sofisticado e, caso especial, mais coisas com a série Taylor truncada, mas provavelmente não vale a pena. De fato, não está totalmente claro que o caso 1 precise ser tratado separadamente, pois, como k20 apontou, o cancelamento é seguro. No entanto, lidar com isso separadamente me deixaria mais confiante.

— Victor Liu
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2

Lembro que essa pergunta foi feita anteriormente neste site e, surpreendentemente, a resposta é que você só precisa igualar a igualdade exata de zero em casos especiais. Os erros são cancelados perto de zero. Eu não tenho o link.

Sim, esta resposta estava completamente errada. Não sei ao certo por que foi tão votado, provavelmente porque foi declarado com tanta autoridade. Encontrei o link que tinha em mente. Estava na troca de pilha matemática aqui , não na troca de pilha scicomp. A expm1fórmula de cancelamento de erro-free é fornecida na resposta por JM e usa uma u = exp(x)transformação.

— k20
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x

$x$

d x

$dx$

(e^{d x} - 1) / d x

$(e^{dx} - 1)/dx$

(1 + d x - 1) / d x

$(1+dx - 1)/dx$

1

$1$

1

d x

$dx$

1 + d x = 1

$1+dx=1$

0

Para responder à primeira pergunta e fornecer um método (provavelmente numericamente ineficiente) para a segunda, observe que esse é o inverso da função geradora dos números de Bernoulli .

— Nikolaj-K
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Essa é uma conexão interessante, obrigado por apontar isso. Infelizmente, acredito que a soma tripla tornará isso proibitivamente caro. Além disso, não está claro imediatamente onde truncar cada soma para obter a precisão desejada.

— anônimo

@ anonymous: Que soma tripple você quer dizer? Você não precisa dos polinômios de Bernoulli, apenas dos números de Bernoulli, e pode listá-los com antecedência. Mas sim, ainda não é para ser melhor do que a série Taylor.

— Nikolaj-K

Você pode computar isso com antecedência, se estiver claro que você só precisa de um número finito fixo para qualquer entrada.

— anônimo

@ anonymous: Bem, sim, assim como você listaria os coeficientes de Taylor com antecedência.

— Nikolaj-K