Mecânica dos sólidos com diferenças finitas: como lidar com “nós de canto”?

Eu tenho uma pergunta sobre a codificação das condições de contorno para a mecânica dos sólidos (elasticidade linear). No caso especial, tenho que usar diferenças finitas (3D). Sou muito novo neste tópico, portanto, talvez algumas das seguintes perguntas possam ser muito básicas.

Para levar ao meu problema específico, antes de tudo, quero mostrar o que já implementei (para manter claro, vou usar apenas 2D).

1.) Eu tenho a seguinte discretização de $div(\sigma) = 0$ , mostrando o primeiro componente da divergência $\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial\sigma_{xy}}{\partial y} = 0$:

Eu uso uma grade não escalonada, então Ux e Uy são definidos no mesmo local.

2.) O próximo passo foi tratar os limites, onde eu uso "nós fantasmas". De acordo com $\sigma \bullet n = t^*$ , onde $t^*$ é a tensão no limite.

$(\lambda + 2\mu)\frac{\partial U_x}{\partial x} + \lambda \frac{\partial U_y}{\partial y} = \sigma_{xx}^*$$\sigma_{xx}^*$

$\mu\frac{\partial U_x}{\partial y} + \mu \frac{\partial U_y}{\partial x} = \sigma_{xy}^*$$\sigma_{xy}^*$

3.) Acho que até agora todos os meus passos parecem lógicos, se não, por favor me corrija . Mas agora também existem os "nós de canto", nos quais não faço ideia de como lidar com eles.

$div(\sigma) = 0$

Então, minha pergunta é qual é a maneira correta de lidar com esses "nós de canto"? Estou feliz por todas as ideias.

Eu tive problemas semelhantes com as condições de contorno dos cantos, especialmente na solução de problemas de placas estruturais com uma pressão transversal aplicada uniformemente. Em particular, se alguém estiver tentando obter as cargas de cisalhamento nas bordas (incluindo os cantos). As cargas de cisalhamento são uma função do ∂ ^ 3 w / ∂ ^ 2 x∂y. O uso de um esquema de diferença central faz com que seja necessário o nó "fantasma" diagonal ao nó de canto para determinar essa derivada. Não acredito que a média baseada em nós adjacentes seja apropriada. O que fiz foi usar o momento de torção Mxy que calculei no nó da esquina e equipará-lo à diferença finita "molécula" do momento de torção em função dos deslocamentos. Como eu já conhecia os deslocamentos de todos os outros nós adjacentes (com base nas condições de contorno ao longo das bordas da placa), era uma questão simples resolver esse nó de canto "complicado". Espero que isso ajude.

Você pode estar tentando resolver um sistema de equações que não possui uma solução exclusiva. Imagine que você tem vários nós conectados por molas flutuando no espaço e deseja encontrar a posição de equilíbrio de cada nó. Se o sistema não estiver ancorado em algo fixo (ou nenhuma força for aplicada), há muitas soluções possíveis. Qualquer solução sempre pode ser traduzida ou rotacionada e ainda é uma solução. Você tentou corrigir os deslocamentos em um nó de canto para eliminar a translação e corrigir um deslocamento em outro canto para eliminar as rotações?

Uma vez tentei essa abordagem de fixar alguns nós e ajustar forças normais em outros, mas parecia focar grandes quantidades de força em nós de fronteira individuais, resultando em instabilidade. O que acabou funcionando não foi tentar ancorar apenas alguns nós, mas ancorar todos os nós em relação a uma deformação homogênea. Essencialmente, você tensiona todo o sistema de maneira homogênea, mas inclui o componente homogêneo na definição local de deformação em cada nó, para que não contribua com energia elástica adicional. Você pode ler mais sobre isso neste artigo e nas referências citadas: http://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/nn204177u .

Esse problema de instabilidade é provavelmente uma boa razão para escolher elementos finitos para problemas de mecânica quando possível.