Eu tenho algumas perguntas sobre o seguinte:
Estou tentando resolver a equação de Schrodinger em 1D usando a discretização de crank nicolson seguida pela inversão da matriz tridiagonal resultante. Meu problema agora evoluiu para um problema com condições de contorno periódicas e, portanto, modifiquei meu código para usar o algoritmo Sherman Morrison.
Suponha que vmeu RHS esteja em cada etapa do tempo em que desejo inverter a matriz tridiagonal. O tamanho de vé o número de pontos de grade que tenho no espaço. Quando eu defino v[0]e v[-1]em termos um do outro, conforme é necessário em minha situação periódica, minha equação explode. Não sei dizer por que isso está acontecendo. Eu estou usando python2.7 e resolve_banded do scipy para resolver a equação.
Isso me leva à minha segunda pergunta: usei python porque é a linguagem que melhor conheço, mas acho bastante lenta (mesmo com as otimizações oferecidas por numpy e scipy). Eu tentei usar C ++ porque estou razoavelmente familiarizado com ele. Eu pensei em usar o GSL que seria otimizado para o BLAS, mas não encontrei documentação para criar vetores complexos ou resolver a matriz tridiagonal com esses vetores valiosos complexos.
Gostaria de objetos no meu programa, pois acho que seria a maneira mais fácil de generalizar mais tarde para incluir o acoplamento entre as funções de onda, por isso estou aderindo a uma linguagem orientada a objetos.
Eu poderia tentar escrever o solucionador de matriz tridiagonal manualmente, mas tive problemas quando o fiz em python. À medida que evoluía ao longo do tempo, com etapas cada vez mais finas, o erro se acumulava e me dava bobagem. Tendo isso em mente, decidi usar os métodos internos.
Qualquer conselho é muito apreciado.
EDIT: Aqui está o trecho de código relevante. A notação é emprestada da página da Wikipedia na equação da matriz tridiagonal (TDM). v é o RHS do algoritmo crank nicolson a cada etapa do tempo. Os vetores a, bec são as diagonais do TDM. O algoritmo corrigido para o caso periódico é do CFD Wiki . Eu fiz um pouco de renomeação. O que eles chamaram de u, v Eu chamei de U, V (maiúsculo). Chamei q de complemento, y a solução temporária e a solução real self.currentState. A atribuição de v [0] e v [-1] é o que está causando o problema aqui e, portanto, foi comentada. Você pode ignorar os fatores de gama. São fatores não lineares usados para modelar os condensados de Bose Einstein.
for T in np.arange(self.timeArraySize):
for i in np.arange(0,self.spaceArraySize-1):
v[i] = Y*self.currentState[i+1] + (1-2*Y)*self.currentState[i] + Y*self.currentState[i-1] - 1j*0.5*self.timeStep*potential[i]*self.currentState[i] - self.gamma*1j*0.5*self.timeStep*(abs(self.currentState[i])**2)*self.currentState[i]
b[i] = 1+2*Y + 1j*0.5*self.timeStep*potential[i] + self.gamma*self.timeStep*1j*0.5*(abs(self.currentState[i])**2)
#v[0] = Y*self.currentState[1] + (1-2*Y)*self.currentState[0] + Y*self.currentState[-1] - 1j*0.5*self.timeStep*potential[0]*self.currentState[0]# - self.gamma*1j*0.5*self.timeStep*(abs(self.currentState[0])**2)*self.currentState[0]
#v[-1] = Y*self.currentState[0] + (1-2*Y)*self.currentState[-1] + Y*self.currentState[-2] - 1j*0.5*self.timeStep*potential[-1]*self.currentState[-1]# - self.gamma*1j*0.5*self.timeStep*(abs(self.currentState[-1])**2)*self.currentState[-1]
b[0] = 1+2*Y + 1j*0.5*self.timeStep*potential[0] + self.gamma*self.timeStep*1j*0.5*(abs(self.currentState[0])**2)
b[-1] = 1+2*Y + 1j*0.5*self.timeStep*potential[-1] + self.gamma*self.timeStep*1j*0.5*(abs(self.currentState[-1])**2)
diagCorrection[0], diagCorrection[-1] = - b[0], - c[-1]*a[0]/b[0]
tridiag = np.matrix([
c,
b - diagCorrection,
a,
])
temp = solve_banded((1,1), tridiag, v)
U = np.zeros(self.spaceArraySize, dtype=np.complex64)
U[0], U[-1] = -b[0], c[-1]
V = np.zeros(self.spaceArraySize, dtype=np.complex64)
V[0], V[-1] = 1, -a[0]/b[0]
complement = solve_banded((1,1), tridiag, U)
num = np.dot(V, temp)
den = 1 + np.dot(V, complement)
self.currentState = temp - (num/den)*complement