Enumeração de gráficos derivados de mosaicos de Delaunay em 3D

Existe um algoritmo que enumera os gráficos que correspondem a algum mosaico de pontos de Delaunay em 3D?

Em caso afirmativo, existe uma parametrização eficiente de geometrias que correspondem a qualquer "gráfico de Delaunay"?

Eu estou procurando enumerar sistematicamente todas as geometrias estáveis de moléculas de uma composição especificada sem nenhum conhecimento a priori de ligação etc.

EDIT: Seja o conjunto de gráficos com vértices. Seja um mapa de pontos em para um gráfico correspondente a um mosaico de Delaunay dos referidos pontos em 3D. $G_N$ $N$ $D: \mathbb{R}^{3N} \to G_N$ $N$ $\mathbb{R}^3$

Como enumerar (eficientemente)? $D(\mathbb{R}^{3N})$

Além disso, dado um gráfico , como posso parametrizar (eficientemente)? $g\in G_n$ $D^{-1}(g)$

EDIT: Exemplo em 2D: Para 4 pontos, existem 2 gráficos Delaunay.

\begin{matrix} 1 & - & 2 & - & 3 \\ ╲ & | & ╱ \\ 4 \end{matrix} and \begin{matrix} 1 & - & 2 \\ | & \times & | \\ 3 & - & 4 \end{matrix}

$\begin{matrix} 1 & - & 2 & - & 3 \\ &\diagdown &| & \diagup\\ &&4 \end{matrix}\mbox{ and } \begin{matrix} 1 & - & 2\\ |& \times & |\\ 3 & - & 4 \end{matrix}$

Ou mostrado de maneira explicitamente plana:

Gráficos 2D delaunay para 4 pontos

O primeiro desses gráficos pode ser parametrizado por qualquer posição dos pontos 1, 2 e 4, ou seja, , enquanto o ponto 3 seria qualquer ponto que é maior que o raio de o círculo que circunscreve os pontos 1, 2 e 4 centralizados em e é a posição do ponto . $\mathbb{R}^{3\times 3}$ $x_3(r,\theta)=c(x_1,x_2,x_4) + r\left(\begin{array}{c} \cos(\theta) \\ \sin(\theta)\end{array}\right)$ $r$ $c(x_1,x_2,x_4)$ $x_i$ $i$

algorithms computational-chemistry delaunay-triangulation

— Último folego
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O que você quer dizer com "parametrização eficiente de geometrias". Também não sou químico, então o que significa "geometrias estáveis de moléculas de uma composição especificada"? Com um pouco mais de esclarecimento, isso pode ser facilmente respondido.

— Gareth A. Lloyd

Para pontos na posição geral em 3D, existem graus de liberdade independentes ( para o centro de massa e outros 3 graus para os principais eixos de rotação). Cada conjunto possui algum mosaico de Delaunay. Gostaria de inverter esse processo: dado um mosaico de Delaunay, quero uma parametrização de todos os conjuntos de pontos que levem a esse mosaico de Delaunay. Uma geometria estável é um conjunto de pontos no espaço com pesos positivos associados para os quais a energia funcional é localmente mínima.

N

$N$

3 N - 6

$3N-6$

3 N - 3

$3N-3$

N

$N$

N

$N$

— Death Breath

Você está pedindo para encontrar todas as possíveis triangulações de Delaunay? Você pode esclarecer um pouco? Você define uma recompensa por isso, mas sinto que a pergunta ainda não está clara para muitos.

— Szabolcs

@Szabolcs: Espero que a edição esclareça o problema.

— Death Breath

@ Deathbreath um pouco ... entendo direito que você precisa encontrar todos os gráficos que possam corresponder a uma triangulação de Delaunay de algum conjunto de pontos em 3D? Você pode dar um exemplo específico? Por exemplo, em 2D para 4 pontos, os gráficos que você precisa e (ignorando pontos colineares)? (Os dígitos representam vértices e as bordas pares de dígitos em minha notação.)

N

$N$

(12, 23, 31, 24, 43)

$(12, 23, 31, 24, 43)$

(12, 23, 31, 14, 24, 34)

$(12, 23, 31, 14, 24, 34)$

— Szabolcs

Em Hartvigsen, D .: Reconhecendo os Diagramas de Voronoi com Programação Linear, são apresentados vários algoritmos baseados em programação linear para reconhecer as tesellações de Voronoi, e afirma que

[...] para cada de um diagrama de Voronoi, o conjunto de pontos em contidos em algum conjunto gerador é um singleton ou o interior de um poliedro. $R_i$ $R_i$ $P$

Parece que o tópico da existência e singularidade da solução para o problema inverso de Voronoi também é desenvolvido em Winter, LG: O problema inverso do diagrama de Voronoi .

— astrojuanlu
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3 N - 6

$3N-6$

3 N - 5

$3N-5$

D : R^{3 N} \to G_{N}

$D: \mathbb{R}^{3N} \to G_N$

G_{N}

$G_N$

N

$N$

N

$N$

D^{- 1} : G_{N} \to P (R^{3 N - 6})

$D^{-1}: G_N\to P(\mathbb{R}^{3N-6})$

D (R^{N})

$D(\mathbb{R}^N)$

D^{- 1} (g)

$D^{-1}(g)$

g \in G_{N}

$g\in G_N$

Depois de entender suas preocupações e fazer algumas pesquisas, encontrei alguns recursos potencialmente úteis. Note, porém, que posso ler a versão em texto completo de nenhuma delas.

— Astrojuanlu

Essas são referências interessantes. Minha biblioteca me fornecerá cópias.

— Death Breath

Parece que esses árbitros são mais difíceis de obter do que o previsto.

— Death Breath

De qualquer forma, obrigado pela recompensa, espero que sejam úteis quando você finalmente as receber.

— Astrojuanlu