Tenho alguns pontos a acrescentar a essas boas respostas.
A versão atual do SQLite possui WAL (Write-Ahead Logging) para que a leitura e gravação possam prosseguir simultaneamente. Portanto, a limitação tradicional de escritor único mencionada nas respostas anteriores não existe mais. Ainda não vi o WAL em produção, portanto não posso comentar o quão bem ele é dimensionado.
Usando o WAL ou não, se o seu banco de dados SQLite for somente leitura (ou for atualizado em lote) e se encaixar na RAM (seu sistema operacional possui RAM suficiente para mantê-lo em buffers), ele pode ser dimensionado muito bem em um aplicativo Web de produção. Pessoalmente, fiquei muito cético em relação a seu desempenho, escalabilidade e robustez, mas agora, após nove meses de produção, ele provou rodar até mesmo as partes mais complexas do sistema muito bem.