O que você provavelmente deseja fazer aqui é analisar todos esses arquivos de log uma vez e continuar analisando apenas os arquivos de log atuais a partir de então.
A coisa mais simples a fazer é descompactar todos esses arquivos em um único arquivo, executar o awstats uma vez e apontar o awstats para o seu arquivo access.log a partir de então.
O awstats normalmente possui um script chamado logresolvemerge.pl, que pode ler os arquivos compactados e os mesclará adequadamente para que o awstats faça análise.
Para mesclar todos os seus existentes, execute
perl /usr/share/awstats/tools/logresolvemerge.pl /var/log/nginx/access.log* > /tmp/nginx.tmplog
Provavelmente vai demorar um pouco.
Você pode fazer com que o awstats execute uma vez sobre esse arquivo (defina o LogFile adequadamente).
A partir de então, você deve ter o awstats executado no arquivo de log mais recente - que é o que sua configuração atual está fazendo.
Dependendo da frequência com que você executa o awstats versus os arquivos de log nginx rotativos, convém que ele leia o arquivo de log atual e o anterior. (por exemplo, se você girar os arquivos de log do nginx todos os dias às 12, mas o awstats for executado todos os dias em 1, sempre que o awstats for executado, o arquivo de log conterá apenas o que foi gravado desde a última rotação). Você pode usar logresolvemerge.pl dentro do seu comando LogFile da seguinte maneira:
LogFile="/usr/share/awstats/tools/logresolvemerge.pl /var/log/nginx/access.log /var/log/nginx/access.log.1.gz |"
Isso diz ao awstats para executar o comando logresolvemerge.pl com os dois arquivos de log como parâmetros, e o awstats lerá a saída desse script (é isso que o pipe | faz)