A resposta curta é:
Sim. Por definição, um roteador deve ter mais de uma interface (com um endereço IP por interface) para enviar e receber pacotes e encaminhar pacotes de um para o outro com base nos endereços de destino dos pacotes. Nem todos os roteadores falam apenas IP, mas os roteadores "multiprotocolo" não são realmente necessários agora que tudo fala IP.
A resposta mais complexa também é sim ...
A implementação típica de um roteador possui um endereço IP por "rede conectada diretamente" ou sub-rede que o roteador pode acessar por meio de uma rede local. (ou seja, se o roteador tiver um endereço 10.10.10.1/23, ele poderá alcançar qualquer endereço IP entre 10.10.10.1 a 10.10.11.254 nessa interface). Os hosts nessa rede da camada 2 e nesse espaço de endereço seriam configurados para usar 10.10.10.1 como sua "rota padrão", de forma que qualquer tráfego que não fosse 10.10.10.1/23 seria fornecido ao roteador para enviar ao destino final. Neste ponto, esperamos que o roteador tenha mais um endereço IP que ele usa para se comunicar com a rota padrão desse roteador (ou a outra rede diretamente conectada que possui o endereço de destino).
Além de ter mais de um endereço IP, os roteadores podem até ter mais do que a rede IP, de forma que o mesmo endereço IP exista em várias sub-redes diferentes do roteador e o roteador sabe que, se o tráfego da interface A for destinado a 10.10.10.10, fora da interface C, mas se vier da interface B, deve ir para a interface D. As duas situações mais comuns em que isso pode ocorrer são com redes de gerenciamento ou com "roteadores virtuais" em que um único roteador é particionado em diferentes roteadores virtuais para diferentes clientes não relacionados.
É até possível que eu chamaria um roteador de não ter um endereço IP, como se você tivesse o que todo mundo chama de "firewall" no modo de ponte que impõe rotas de política. Esse dispositivo seria um pesadelo para apoiar e confundir as pessoas que assumem o seu cargo depois que você é demitido, mas ele faz o roteamento e não possui um endereço IP local. (o lunático que implementa uma coisa dessas obviamente gerenciaria a partir de uma porta serial, certo?)