Inconsistência no cálculo da coerência ao quadrado da magnitude

Eu tenho que calcular a coerência da magnitude ao quadrado (MSC) entre dois sinais. No entanto, usando uma rotina que usa apenas um cone (ou nenhum cone), meu resultado é sempre 1, apesar dos sinais serem claramente diferentes. Isso não acontece se eu usar mais de um cone. Procurando uma explicação para esse resultado anormal, venho com uma característica confusa do próprio MSC. A definição que estou usando é esta

γ^{2} (ω) = \frac{| X (ω) \bar{Y (ω)} |^{2}}{(X (ω) \bar{X (ω)}) . (Y (ω) \bar{Y (ω)})}

$\gamma^2(\omega)=\frac{ |X(\omega)\overline{Y(\omega)}| ^2}{(X(\omega)\overline{X(\omega)}).(Y(\omega)\overline{Y(\omega)}) }$

X e Y são os sinais transformados de Fourier que dependem da frequência . No entanto, se você pegar dois números complexos como o valor dessas funções em alguma frequência fixa, o resultado será sempre 1. Sabendo que então $\omega$ $|z|^2=z\overline{z}$

γ^{2} = \frac{(X \bar{Y}) \bar{(X \bar{Y})}}{X \bar{X} Y \bar{Y}} = \frac{(X \bar{Y}) (\bar{X} Y)}{X \bar{X} Y \bar{Y}} = \frac{X \bar{X} Y \bar{Y}}{X \bar{X} Y \bar{Y}} = 1

$\gamma^2=\frac{(X\overline{Y})\overline{(X\overline{Y})} }{X\overline{X}Y\overline{Y}}=\frac{(X\overline{Y})(\overline{X}Y) }{X\overline{X}Y\overline{Y}}=\frac{X\overline{X}Y\overline{Y} }{X\overline{X}Y\overline{Y}}=1$

Certamente deve haver algo que eu devo estar entendendo mal, mas não consigo ver o que é. Alguém pode me explicar qual é o problema?

Edit: Vou usar alguns links do Matlab como fontes confiáveis. Definição de coerência MS

http://www.mathworks.com/help/signal/ref/mscohere.html

definição de densidade espectral de potência cruzada

http://www.mathworks.com/help/signal/ref/cpsd.html

(a densidade espectral de potência é a densidade espectral de " auto- cruzamento", ou seja, a transformada de Fourier da autocorrelação).

Outra fonte pode ser encontrada pesquisando no Google sob o nome "Função de coerência no processamento de sinais biomédicos". Desculpe por não postar os links diretos aqui, não tenho "reputação" suficiente

— Tojur
fonte

Ajudaria se você incluísse uma referência para onde você obteve sua definição de . As medidas de coerência geralmente são baseadas na Desigualdade de Cauchy-Schwarz, que afirma que com igualdade quando onde é constante. No contexto da coerência, igualdade é coerência perfeita. Mas sua não é exatamente a proporção dos dois lados da desigualdade de Cauchy-Schwarz.

γ^{2} (ω)

$\gamma^2(\omega)$

| ⟨ x, y ⟩ |^{2} \leq ⟨ x, x ⟩ \cdot ⟨ y, y ⟩

$|\langle x,y\rangle |^2 \leq \langle x,x \rangle\cdot\langle y,y\rangle$

x = λ y

$x = \lambda y$

λ

$\lambda$

γ^{2} (ω)

$\gamma^2(\omega)$

— precisa

Observe os operadores de expectativa em sua definição de coerência. Você não pode separar os termos e na densidade espectral cruzada para cancelar com o denominador, pois o valor esperado de seu produto é obtido.

x

$x$

y

$y$

— Jason R

Isso é verdade. No entanto, esqueci de mencionar que estou trabalhando com processos aleatórios estacionários, de modo que as densidades espectrais e as funções de correlação são pares de transformadas de Fourier. E a transformada de Fourier das funções de correlação pode ser escrita como a multiplicação do tranform Fourier das funções individuais (com um dos conjugados), como pode ser encontrado em Wikipedia

— Tojur

A questão é que, para processos aleatórios, é não verdade que e são as transformadas de Fourier dos processos (na verdade, transformada de Fourier de um processo aleatório do jeito que você parece estar pensando sobre isso não faz sentido algum, exceto como um processo de valor complexo) e que a densidade espectral de potência cruzada é igual a e a densidade espectral de potência é .

X (ω)

$X(\omega)$

Y (ω)

$Y(\omega)$

S_{X, Y} (ω)

$S_{X,Y}(\omega)$

X (ω) Y (ω)

$X(\omega)Y(\omega)$

S_{X} (ω)

$S_X(\omega)$

| X (ω) |^{2} = X (ω) X^{*} (ω)

$|X(\omega)|^2 = X(\omega)X^*(\omega)$

— precisa

Não sei se entendi sua definição de "processo aleatório". No processamento de sinais, um processo aleatório estacionário "é uma coleção de registros históricos do tempo com propriedades estatísticas invariantes às traduções do tempo" (de 'dados aleatórios - procedimentos de análise e medição'). Na verdade, você pode verificar como este conceito é utilizado para declarar algumas propriedades no link a seguir en.wikipedia.org/wiki/Spectral_density

— Tojur

Para qualquer pedaço (janela) de dados, a coerência será, como você observou, 1. Para estimar adequadamente a coerência, você deve calcular a média dos espectros e cruzamentos para várias janelas e, então, calcular a coerência.

Os espectros automáticos XX e YY podem ser calculados em média da maneira convencional. Para o XY de espectro cruzado, você deve calcular a média dos componentes reais e imaginários antes de calcular XY = sqrt (XY [imag] ^ 2 + XY [real] ^ 2).

Isso ajuda? A média de mais de 8 janelas geralmente gera estimativas confiáveis.

— John
fonte

Sim, essa é a resposta. Muito obrigado John

— Tojur

Oi @John. Uma pequena pergunta: você sabe o nome de algum livro onde posso ler mais sobre isso? Eu não encontrei uma boa para estudar isso sozinha. Thx

— Tojur