DFT e equivalência multiplicação / convolução

Existe uma explicação simples ou potencialmente intuitiva para, com a DFT, a multiplicação de vetores em um domínio ser equivalente à convolução circular das transformações dos vetores no outro domínio?

Como uma DFT é apenas a multiplicação por uma matriz quadrada (especial), o que acontece com essa matriz e multiplicação de matrizes que permite a dualidade acima?

Como você diz corretamente, o DFT pode ser representado por uma multiplicação de matrizes, a matriz de Fourier $\mathbf{F}$. Por outro lado, o DFT "transforma" uma convolução cíclica em uma multiplicação (como todas as variantes de transformada de Fourier como DFT, DTFT, FT têm uma propriedade semelhante de transformar convolução em multiplicação) e vice-versa.

Para entender isso na imagem da matriz, observe que também a convolução (circular) com uma determinada sequência pode ser representada por uma multiplicação da matriz. Mais especificamente, essa é uma matriz circulante, um tipo especial de matriz de Toeplitz.

tão $\mathbf{y} = \mathbf{c} * \mathbf{x}$ com $*$ a convolução cíclica pode ser escrita como $\mathbf{y} = \mathbf{C}(\mathbf{c}) \mathbf{x}$com denotando a matriz circulante formada a partir das entradas do vetor .$\mathbf{C}$$\mathbf{c}$

Se "transformarmos" essa equação com a DFT (isto é, multiplicação por ), obteremos$\mathbf{F}$

$\widehat{\mathbf{y}} = \mathbf{F} \, \mathbf{C}(\mathbf{c}) \,\mathbf{F}^H\, \widehat{\mathbf{x}}$

com $\widehat{\mathbf{y}} =\mathbf{F}\mathbf{y}$ e $\widehat{\mathbf{x}} =\mathbf{F}\mathbf{x}$ os respectivos DFTs (observação $\mathbf{F}^H$ representa o IDFT).

O ponto é agora que $\mathbf{F} \mathbf{C}(\mathbf{c}) \,\mathbf{F}^H$é sempre uma matriz diagonal, porque todas as matrizes circulantes são diagonalizadas pela matriz de Fourier. Isso significa que os vetores próprios das matrizes circulantes são dados apenas pelas linhas da matriz de Fourier.

É claro que isso é consistente com a imagem da convolução, porque o DFT transforma a convolução em uma multiplicação em todo o elemento. Além disso, os elementos diagonais dessa matriz são apenas o DFT de$\mathbf{c}$ou, eqivalentemente, os autovalores da matriz circulante formados a partir de $\mathbf{c}$.

Aliás, a DFT é a única transformação linear bijetiva que troca convolução e multiplicação por termos (até a permutação dos coeficientes, obviamente). Isso não é difícil de provar, mas não encontrei nenhuma referência sobre esse resultado antes de explicá -lo em Music Through Fourier Space , Thm. 1.11 (Springer 2016). É mais confuso no caso contínuo, porque é preciso escolher bem os espaços funcionais envolvidos.

Talvez esse recíproco também possa ser provado usando matrizes circulantes e diagonalização simultânea.