Densidade espectral de potência vs Densidade espectral de energia

Eu li o seguinte na Wikipedia :

Densidade espectral de potência:

A definição acima de densidade espectral de energia é mais adequada para transientes , isto é, sinais do tipo pulso, para os quais as transformadas de Fourier dos sinais existem . Para sinais contínuos que descrevem, por exemplo, processos físicos estacionários, faz mais sentido definir uma densidade espectral de potência (PSD), que descreve como a potência de um sinal ou série temporal é distribuída nas diferentes frequências, como no exemplo simples dado anteriormente.

Não entendo bem esse parágrafo. A primeira parte diz que " para alguns sinais. A transformação de Fourier não existe ".

Para quais sinais (no contexto que estamos discutindo) a transformada de Fourier não existe e, portanto, precisamos recorrer ao PSD em vez de usar a densidade espectral da energia?
Ao obter a densidade espectral de potência, por que não podemos computá-la diretamente? Por que precisamos estimar isso?
Finalmente, sobre este tópico, li sobre métodos que usam o Kayser-windows ao calcular o PSD ao longo do tempo. Qual é o objetivo dessas janelas na estimativa do PSD?

power-spectral-density

— Amelio Vazquez-Reina
fonte

Uma resposta curta para uma de suas perguntas: para um sinal determinístico

, você pode calcular sua densidade espectral de potência. No entanto, a densidade espectral de potência também é definida para processos aleatórios estacionários de sentido amplo . Nesse contexto, o PSD é definido como a transformação de Fourier da função de autocorrelação do processo. Nesse cenário, você normalmente não conhece a função exata de autocorrelação de um processo aleatório específico que pode estar observando; portanto, tenta estimar o PSD a partir de suas observações.

x (t)

$x(t)$

— Jason R

x (t)

$x(t)$

lim_{T \to \infty} \int_{- T}^{T} | x (t) |^{2} d t

$\lim_{T\to \infty}\int_{-T}^T |x(t)|^2\,\mathrm dt$

\int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j 2 π f t} d t

$\int_{-\infty}^\infty x(t)e^{-j2\pi ft}\,\mathrm dt$

lim_{T \to \infty} \frac{1}{2 T} \int_{- T}^{T} | x (t) |^{2} d t

$\lim_{T\to \infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^T |x(t)|^2\,\mathrm dt$

O processo aleatório nunca termina, fenômeno não periódico, portanto, tomar a transformação de Fourier de suas realizações não faz sentido, também não é possível. No entanto, se o processo aleatório é estacionário, é certo que ele possui algum poder finito sobre alguma banda de frequências. Agora, aqui surge a questão de como calcular o poder desse processo aleatório estacionário (a transformação de fourier não pode ser tomada diretamente)? Então o que fazer? encontramos a função de autocorrelação do processo aleatório fornecido, cuja transformação de Fourier sempre existe. Finalmente, adotamos a transformação de Fourier dessa função de autocorrelação para obter a densidade espectral de potência do processo estacionário fornecido.

Se você integrar a densidade espectral de potência de um determinado processo estacionário no intervalo de - a obterá a potência total contida no processo aleatório especificado. $\infty$ $\infty$

— kaka
fonte

Quando você disse:

"However if random process is stationary, then it is for sure that it has some finite power over some band of frequencies."

- por que isso? E precisa necessariamente ser estacionário para ter poder finito sobre alguma banda de frequências?

— Amelio Vazquez-Reina

Os processos staionários sempre têm média finita e variância finita. Isso significa que o processo staionary sempre tem poder finito. Como a potência é finita, isso significa que a densidade espectral da potência do processo staionary é finita em algumas faixas de frequências. (a banda de frequência pode ser infinita).

— kaka

Staionary processes have always finite mean and finite variance. It means that staionary process has always finite power.

Isto está incorreto. Veja o segundo parágrafo desta resposta para um contra-exemplo.

— Dilip Sarwate