Quais são as vantagens, se houver, da amostragem derivada?

Em cinco histórias curtas sobre a série cardinal , o autor faz o seguinte comentário:$[1]$

Curiosamente, Shannon continua mencionando que outros conjuntos de dados também podem ser usados ​​para determinar o sinal de banda limitada - por exemplo, os valores de ƒ e sua primeira derivada em qualquer outro ponto de amostra, os valores de ƒ e seu primeiro e segundas derivadas em cada terceiro ponto de amostra, e assim por diante.

O artigo menciona alguns desenvolvimentos históricos, mas estou curioso para saber quais são os "aplicativos matadores" para amostragem derivada. Ele usa outros nomes? Existem outras generalizações dessa abordagem?

Uma visão geral simples ou ponteiros para algumas referências seria ótimo.

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1. JR Higgins, cinco histórias curtas sobre a série cardinal , Bull. Amer. Matemática. Soc. (NS) 12 (1985), n. 1, 45-89. http://bit.ly/plioNg

Papoulis introduziu uma generalização do teorema da amostragem [1], da qual a abordagem de amostragem derivada é um caso. A essência do teorema, citando [2] é:

Em 1977, Papoulis introduziu uma poderosa extensão da teoria de amostragem de Shannon, mostrando que um sinal com banda limitada poderia ser reconstruído exatamente a partir das amostras da resposta de sistemas lineares invariantes por deslocamento amostrado a 1 / m da taxa de reconstrução.$m$$1/m$

Talvez uma das razões pelas quais é difícil procurar o termo seja porque o teorema de amostragem generalizada de Papoulis é mencionado com mais frequência do que "amostragem derivada". [2] também é um artigo muito bom, que apresenta uma ampla visão geral das abordagens de amostragem no momento da publicação. [3], também do mesmo autor, há uma extensão de [1] para a classe de funções sem banda.

Quanto às aplicações, em um artigo recente [4], a abordagem de amostragem derivada é usada para projetar filtros de atraso fracionário de banda larga e os autores mostram que a amostragem da derivada resulta em erros menores. Do resumo:

Neste artigo, o projeto do filtro de atraso fracionário de banda larga é investigado. Primeiro, a fórmula de reconstrução do método de amostragem derivada é aplicada para projetar o filtro de atraso fracionário de banda larga usando substituição de índice e método de janela. ... Finalmente, exemplos numéricos são demonstrados para mostrar que o método proposto possui um erro de projeto menor que o filtro de atraso fracionário convencional sem amostrar a derivada do sinal.

Embora certamente haja mais, evitarei postar mais referências e aplicativos para mantê-lo curto (e evitar que ele se transforme em uma lista). Um bom ponto para começar a procurar seria verificar quais documentos citaram [1] - [3] e restringir a lista com base no resumo.

[1]: A. Papoulis, "expansão de amostragem generalizada", IEEE Trans. Circuitos e Sistemas , vol. 24, n. 11, pp. 652-654, 1977.

[2]: M. Unser, "Sampling - 50 years after Shannon", Proceedings of the IEEE , vol. 88, num. 4, p. 569-587, 2000

[3]: M. Unser e J. Zerubia, "Uma teoria de amostragem generalizada sem restrições de limitação de banda", IEEE Trans. Circuitos e Sistemas II , vol. 45, num. 8, p. 959–969, 1998

[4]: CC Tseng e SL Lee, "Projeto de filtros de atraso fracionário de banda larga usando o método de amostragem derivada", IEEE Trans. Circuitos e Sistemas I , vol. 57, num. 8, p. 2087-2098, 2010

Não estou ciente de nenhuma aplicação desse esquema de amostragem. Normalmente, é mais difícil coletar com precisão a derivada de um sinal do que seu valor instantâneo (os diferenciadores são vulneráveis ​​ao ruído de alta frequência devido à sua resposta de frequência em forma de rampa). Como o endólito apontou no comentário acima, se você tiver informações suficientes em suas amostras discretas para reconstruir o sinal original, poderá calcular todas as derivadas que deseja.

Esse é um artigo muito legal ao qual você vinculou (eu não o havia lido antes) e, de fato, a resposta que você procura está no mesmo artigo do §2.3! Reproduzi abaixo uma parte do §2.3 que é relevante.

2.3 Amostragem derivada

Para ilustrar uma situação prática de amostragem, J. Fogel (1955) mencionou o exemplo do painel de instrumentos de um piloto de avião, que tradicionalmente consiste em mostradores com ponteiros, fornecendo informações sobre a altitude, atitude, velocidade etc. do piloto. , obtendo informações de qualquer uma delas periodicamente. É possível que informações derivadas também estejam disponíveis para o piloto; por exemplo, seria notado que o altímetro estava "desenrolando" a uma velocidade alarmante se o avião estivesse mergulhando no nariz! É apenas concebível que a aceleração do ponteiro também possa ser observada;$r$$f$$[-\pi W,\pi W]$$f'$

$$f(t)=\sum\left\{f\left(\frac{2\pi}{W}\right)+\left(t-\frac{2\pi}{W}\right)f'\left(\frac{2\pi}{W}\right)\right\}\left\{\frac{\sin \pi(Wt-2n)/2}{\pi(Wt-2n)/2}\right\}^2$$

Acredito que essa ainda seja uma aplicação muito válida de amostragem derivada, pois os aviões não saíram de moda. Pode ter havido vários outros avanços tecnológicos (dos quais não conheço) que podem tornar desnecessário o uso de amostragem derivada nos dias de hoje, mas o ponto ainda permanece.

LJ Fogel (1955), Uma nota sobre o teorema da amostragem , IRE Trans. Informar. Teoria 1 , 47–48

DL Jagerman e LJ Fogel (1956), Alguns aspectos gerais do teorema da amostragem , IEEE Trans. Informar. Teoria 2 , 139-156