O Ideal LPF BIBO é instável?


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Em uma das outras discussões: Como encontrar resposta em frequência, estabilidade e causalidade de um sistema linear?

Encontrei um comentário bastante forte e definitivamente chamou minha atenção.

Um filtro passa-baixas ideal é um exemplo de sistema que não é estável na BIBO, embora sua resposta de frequência seja limitada a todos f

Estou seguindo a definição de estabilidade conforme aqui no wiki http://en.wikipedia.org/wiki/BIBO_stability

Alguém pode me dar uma prova de que o LPF ideal pode realmente ser instável da BIBO?

Obviamente, o LPF ideal com ganho infinito pode produzir uma saída ilimitada. A questão é restrita ao LPF quando o ganho é finito.


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Um LPF ideal possui resposta de impulso da forma h(t)=sinc(t)que não satisfaz a condição|h(t)|dt<necessário para a estabilidade da BIBO. Assim, a resposta emt=0para o sinal limitadox(t)=sgn(sinc(t)) (que alterna entre as opções +1 e 1) é
h(t)x(t)dt=h(t)x(t)dt=|h(t)|dt=
portanto, um LPF ideal não é um sistema estável ao BIBO.
precisa

Respostas:


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Esta resposta é uma resposta a um comentário do OP sobre a resposta do yoda.

Suponha que h(t), a resposta ao impulso de um sistema invariante no tempo linear em tempo contínuo, tem a propriedade de

|h(t)|dt=M
para algum número finito M. Então, para cada entrada limitadax(t), a saída y(t)também é limitado. E se|x(t)|M^ para todos t Onde M^ é algum número finito, então |y(t)|M^M para todos t Onde M^Mtambém é um número finito. A prova é direta.
|y(t)|=|h(τ)x(tτ)dτ||h(τ)x(tτ)|dτ|h(τ)||x(tτ)|dτM^|h(τ)|dτ=M^M.
Em outras palavras, y(t) é limitado sempre x(t) é limitado.

Assim, a condição |h(t)|dt< é suficiente para a estabilidade da BIBO.

A condição |h(t)|dt< também é necessário para a estabilidade da BIBO.

Suponha que toda entrada limitada produz uma saída limitada. Agora considere a entrada x(t)=sgn(h(t))  t. Isso está claramente delimitado (|x(t)|1 para todos t) e em t=0, produz saída

y(0)=h(0τ)x(τ)dτ=h(τ)sgn(h(τ))dτ=|h(τ)|dτ=|h(t)|dt.
Nossa suposição de que o sistema é estável na BIBO significa que y(0) é necessariamente finito, ou seja,
|h(t)|dt<

A prova para sistemas de tempo discreto é semelhante à mudança óbvia de que todas as integrais são substituídas por somas.

Os LPFs ideais não são sistemas estáveis ​​em BIBO porque a resposta ao impulso não é absolutamente integrável, como indicado na resposta do yoda. Mas a resposta dele realmente não responde à pergunta

Alguém pode me dar uma prova de que o LPF ideal pode realmente ser instável da BIBO?

Um exemplo específico de um sinal de entrada limitado que produz uma saída ilimitada a partir de um LPF ideal (e, portanto, prova que o sistema não é estável no BIBO) pode ser construído conforme descrito acima (veja também meu comentário sobre a questão principal).


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Uma condição necessária para a estabilidade da BIBO é a existência do L1 norma (ou 1norma para sistemas discretos) da resposta ao impulso. No artigo wiki que você citou,

Para um sistema de tempo contínuo e invariável por tempo linear (LTI), a condição para a estabilidade da BIBO é que a resposta ao impulso seja absolutamente integrável, ou seja, exista sua norma L1.

|h(t)| dt=h(t)1<

A resposta ao impulso de um LPF ideal é a sinc função, que possui apenas o L2 norma e não o L1norma. Em outras palavras,sinc(t)não é absolutamente aceitável ou

|sinc(t)| dt=

Portanto, um LPF ideal não é estável na BIBO, apesar de sua resposta de frequência estar limitada a todos f.


Pelo que eu pensei que a resposta ao impulso fosse absolutamente aceitável, ou seja, sua norma L1 existe. é uma condição suficiente para que um sistema seja estável na BIBO. No entanto, essa é uma condição necessária que deve ser mantida?
Dipan Mehta

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A transformação de Fourier do lpf ideal é uma função sinc no domínio do tempo, que existe de -infinito a + infinito, portanto não é causal e a área dentro dele é infinita e ilimitada. ..


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Bem-vindo ao DSP.SE! Obrigado pela sua resposta, mas não acho que isso acrescente algo às respostas existentes. Além disso, não é verdade que a área sob a função sinc seja ilimitada, é a área sob a magnitude da função sinc que não tem limites. Este último causa a instabilidade do sistema.
Matt L.
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