O Ideal LPF BIBO é instável?

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Em uma das outras discussões: Como encontrar resposta em frequência, estabilidade e causalidade de um sistema linear?

Encontrei um comentário bastante forte e definitivamente chamou minha atenção.

Um filtro passa-baixas ideal é um exemplo de sistema que não é estável na BIBO, embora sua resposta de frequência seja limitada a todos $f$

Estou seguindo a definição de estabilidade conforme aqui no wiki http://en.wikipedia.org/wiki/BIBO_stability

Alguém pode me dar uma prova de que o LPF ideal pode realmente ser instável da BIBO?

Obviamente, o LPF ideal com ganho infinito pode produzir uma saída ilimitada. A questão é restrita ao LPF quando o ganho é finito.

filters linear-systems

— Dipan Mehta
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Um LPF ideal possui resposta de impulso da forma

h (t) = sinc (t)

$h(t) =\text{sinc}(t)$ que não satisfaz a condição

\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t < \infty

$\int_{-\infty}^{\infty}|h(t)|dt < \infty$ necessário para a estabilidade da BIBO. Assim, a resposta em

t = 0

$t=0$ para o sinal limitado

x (t) = sgn (sinc (t))

$x(t) = \text{sgn}(\text{sinc}(t))$ (que alterna entre as opções

+ 1

$+1$ e

- 1

$-1$ ) é

\int h (- t) x (t) d t = \int h (t) x (t) d t = \int | h (t) | d t = \infty

$\int h(-t)x(t)dt = \int h(t)x(t)dt = \int |h(t)|dt = \infty$ portanto, um LPF ideal não é um sistema estável ao BIBO.

— precisa

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Esta resposta é uma resposta a um comentário do OP sobre a resposta do yoda.

Suponha que $h(t)$ , a resposta ao impulso de um sistema invariante no tempo linear em tempo contínuo, tem a propriedade de

\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t = M

$\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| \mathrm dt = M$ para algum número finito

M

$M$ . Então, para cada entrada limitada

x (t)

$x(t)$ , a saída

y (t)

$y(t)$ também é limitado. E se

| x (t) | \leq \hat{M}

$|x(t)| \leq \hat{M}$ para todos

t

$t$ Onde

\hat{M}

$\hat{M}$ é algum número finito, então

| y (t) | \leq \hat{M} M

$|y(t)| \leq \hat{M}M$ para todos

t

$t$ Onde

\hat{M} M

$\hat{M}M$ também é um número finito. A prova é direta.

\begin{aligned} | y (t) | & = | \int_{- \infty}^{\infty} h (τ) x (t - τ) d τ | \\ \leq \int_{- \infty}^{\infty} | h (τ) x (t - τ) | d τ \\ \leq \int_{- \infty}^{\infty} | h (τ) | \cdot | x (t - τ) | d τ \\ \leq \hat{M} \int_{- \infty}^{\infty} | h (τ) | d τ \\ = \hat{M} M . \end{aligned}

$\begin{align*} |y(t)| &= \left |\int_{-\infty}^\infty h(\tau)x(t - \tau)\mathrm d\tau\right |\\ &\leq \int_{-\infty}^\infty |h(\tau)x(t - \tau)|\mathrm d\tau\\ &\leq \int_{-\infty}^\infty |h(\tau)|\cdot|x(t - \tau)|\mathrm d\tau\\ &\leq \hat{M}\int_{-\infty}^\infty |h(\tau)|\mathrm d\tau\\ &= \hat{M}M. \end{align*}$ Em outras palavras,

y (t)

$y(t)$ é limitado sempre

x (t)

$x(t)$ é limitado.

Assim, a condição $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| \mathrm dt < \infty$ é suficiente para a estabilidade da BIBO.

A condição $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| \mathrm dt < \infty$ também é necessário para a estabilidade da BIBO.

Suponha que toda entrada limitada produz uma saída limitada. Agora considere a entrada $x(t) = \text{sgn}(h(-t)) ~\forall~ t$ . Isso está claramente delimitado ( $|x(t)| \leq 1$ para todos $t$ ) e em $t=0$ , produz saída

\begin{aligned} y (0) & = \int_{- \infty}^{\infty} h (0 - τ) x (- τ) d τ \\ = \int_{- \infty}^{\infty} h (- τ) sgn (h (- τ)) d τ & = \int_{- \infty}^{\infty} | h (- τ) | d τ \\ = \int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t . \end{aligned}

$\begin{align*} y(0) &= \int_{-\infty}^\infty h(0-\tau)x(-\tau)\mathrm d\tau\\ &= \int_{-\infty}^\infty h(-\tau)\text{sgn}(h(-\tau))\mathrm d\tau &= \int_{-\infty}^\infty |h(-\tau)|\mathrm d\tau\\ &= \int_{-\infty}^\infty |h(t)|\mathrm dt. \end{align*}$ Nossa suposição de que o sistema é estável na BIBO significa que

y (0)

$y(0)$ é necessariamente finito, ou seja,

\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t < \infty

$\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| \mathrm dt < \infty$

A prova para sistemas de tempo discreto é semelhante à mudança óbvia de que todas as integrais são substituídas por somas.

Os LPFs ideais não são sistemas estáveis em BIBO porque a resposta ao impulso não é absolutamente integrável, como indicado na resposta do yoda. Mas a resposta dele realmente não responde à pergunta

Alguém pode me dar uma prova de que o LPF ideal pode realmente ser instável da BIBO?

Um exemplo específico de um sinal de entrada limitado que produz uma saída ilimitada a partir de um LPF ideal (e, portanto, prova que o sistema não é estável no BIBO) pode ser construído conforme descrito acima (veja também meu comentário sobre a questão principal).

— Dilip Sarwate
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Uma condição necessária para a estabilidade da BIBO é a existência do $L^1$ norma (ou $\ell^1$ norma para sistemas discretos) da resposta ao impulso. No artigo wiki que você citou,

Para um sistema de tempo contínuo e invariável por tempo linear (LTI), a condição para a estabilidade da BIBO é que a resposta ao impulso seja absolutamente integrável, ou seja, exista sua norma L1.

$\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t = ‖ h (t) ‖_{1} < \infty$ $\int_{-\infty}^\infty |h(t)|\ dt=\Vert h(t)\Vert_1<\infty$

A resposta ao impulso de um LPF ideal é a $\text{sinc}$ função, que possui apenas o $L^2$ norma e não o $L^1$ norma. Em outras palavras, $\text{sinc}(t)$ não é absolutamente aceitável ou

\int_{- \infty}^{\infty} | sinc (t) | d t = \infty

$\int_{-\infty}^\infty |\text{sinc}(t)|\ dt=\infty$

Portanto, um LPF ideal não é estável na BIBO, apesar de sua resposta de frequência estar limitada a todos $f$ .

— Lorem Ipsum
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Pelo que eu pensei que a resposta ao impulso fosse absolutamente aceitável, ou seja, sua norma L1 existe. é uma condição suficiente para que um sistema seja estável na BIBO. No entanto, essa é uma condição necessária que deve ser mantida?

— Dipan Mehta

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A transformação de Fourier do lpf ideal é uma função sinc no domínio do tempo, que existe de -infinito a + infinito, portanto não é causal e a área dentro dele é infinita e ilimitada. ..

— pankaj kumar singh
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Bem-vindo ao DSP.SE! Obrigado pela sua resposta, mas não acho que isso acrescente algo às respostas existentes. Além disso, não é verdade que a área sob a função sinc seja ilimitada, é a área sob a magnitude da função sinc que não tem limites. Este último causa a instabilidade do sistema.

— Matt L.