O discreto kernel gaussiano é uma autofunção da DFT?

Então a função gaussiana é uma função própria da transformada de Fourier porque se transforma em si mesma, certo?

Mas isso não é verdade para o gaussiano amostrado na DFT porque as caudas da função estão truncadas, certo?

A Wikipedia descreve um núcleo gaussiano discreto aqui e aqui , que é diferente do gaussiano de amostra discreta :

a contraparte discreta do Gaussiano contínuo, na medida em que é a solução para a equação de difusão discreta (espaço discreto, tempo contínuo), assim como o Gaussiano contínuo é a solução para a equação de difusão contínua

Isso significa que também a DFT se transforma exatamente em si mesma? Caso contrário, existe uma função semelhante a gaussiana semelhante?

— endólito
fonte

Como a DFT é representável pela multiplicação com a matriz de Fourier, sua pergunta é equivalente a perguntar quais são os vetores próprios da matriz de Fourier.

Na verdade, a Wikipedia fornece a resposta ( http://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Fourier_transform#Eigenvalues_and_eigenvectors ).

No entanto, como os valores próprios ( $1, -1, i, -i$ ) não são simples, os autovetores não são únicos (ou seja, combinações lineares também são autovetores). Também não existe uma fórmula fechada simples.

Uma fórmula para um vetor próprio próximo ao que você pergunta é fornecida pela Wikipedia

F_{m} = \sum_{k = - \infty}^{\infty} \exp (- \frac{π \cdot (m + N \cdot k)^{2}}{N}) m = 0, \dots, N - 1

$F_m = \sum_{k = -\infty}^\infty \exp\left(-\frac{\pi\cdot(m+N\cdot k)^2}{N}\right) \quad\quad\quad m = 0,\ldots,N-1$

Concluindo, a própria função gaussiana não é um vetor próprio, mas uma soma infinita de gaussianos. A soma infinita provavelmente pode ser interpretada como equivalente à discretização do domínio da frequência e do tempo quando passamos do TF para o DFT. Portanto, não é tão simples, como apenas truncar o discreto gaussiano.

— Andreas H.
fonte

Ainda não é uma soma infinita de gaussianos um gaussiano?

— precisa saber é o seguinte

Não, a convolução dos gaussianos ainda é gaussiana. A soma é gaussiana apenas se tiverem a mesma posição e largura. Essa função aqui é, na verdade, um período de um trem de pulso gaussiano discreto. Portanto, nem parece um gaussiano.

— Andreas H.

Ah entendo. Em outras palavras, essa soma é essencialmente um trem gaussiano composto de gaussianos da mesma variância, mas com meios diferentes?

— precisa saber é o seguinte

exatamente. Os meios são espaçados exatamente por N, o comprimento da DFT.

— Andreas H.

Ah, fascinante. Uma última coisa, esse é um vetor de comprimento infinito, o que significa que a matriz DFT também é infinita em comprimento, não é?

— TheGrapeBeyond