Pergunta sobre matriz de covariância de 2 sinais espaciais

Toda vez que acho que entendi a matriz de covariância, alguém aparece com uma formulação diferente.

Atualmente, estou lendo este artigo:

J. Benesty, "Algoritmo adaptativo de decomposição de autovalores para localização passiva de fontes acústicas" , J. Acoust. Soc. Sou. Volume 107 , Edição 1, pp. 384-391 (2000)

e me deparei com uma formulação que não entendo direito. Aqui, o autor está construindo a matriz de covariância entre dois sinais, e . Esses dois sinais são de sensores diferentes.x $x_1$$x_2$

Para a matriz de covariância de um sinal, eu sei que podemos obtê-lo calculando a matriz de regressão e multiplicando-a pelo hermitiano da mesma matriz e dividindo por , o comprimento do vetor original. O tamanho da matriz de covariância aqui pode ser arbitrária, com tamanho máximo sendo .N × $N$$N\times N$

Para a matriz de covariância de dois sinais espaciais, se colocarmos o primeiro sinal na primeira linha e o segundo sinal na segunda linha de uma matriz, multiplique por seu Hermitian e também divida por , obtemos matriz de covariância de ambos os sinais espaciais.2 × $N$$2\times 2$

No entanto, neste artigo, o autor calcula o que se parece com quatro matrizes, R_1 e , e depois as coloca em uma super matriz e chama isso de matriz de covariância .R $R_1{}_1, R_1{}_2, R_2{}_1$$R_2{}_2$

Porque isto é assim? Aqui está uma imagem do texto:

Se você tem dois vetores de sinal e cada um dos elementos, então há duas coisas diferentes que podemos considerar.x 2 [ n ] $x_1[n]$$x_2[n]$$N$

1. Como as quantidades comparam? Em particular, quando os sinais são ruidosos e os ruídos podem ser considerados estacionários em conjunto (ou estacionários em sentido amplo), essas quantidades podem ser usadas para estimar as variações de ruído nos dois sinais, bem como a covariância dos ruídos em qualquer tempo de amostragem fixo. É o que você obtém da matriz de covariância O ruído em tem variação que pode ser diferente de2×2R2×2=[ σ $\displaystyle\sum_{n=1}^N x_i[n]x_j[n],~ i, j \in \{1,2\}$$2\times 2$x1[n]σ21=R1,1R2,

   $$R_{2\times 2} = \left[\begin{matrix} \sigma_1^2 & C\\ C & \sigma_2^2\end{matrix}\right].$$ $x_1[n]$$\sigma_1^2 = R_{1,1}$ X2[n]R1.2=R2,1=Cnn-1n+$R_{2,2} = \sigma_2^2$ , a variação do ruído em . Mas os ruídos são correlacionados com covariância . Agora, se planejamos fazer as coisas exatamente com o que acontece em , ignorando o que pode estar acontecendo em ou etc., então essa é toda a informação de que precisamos.$x_2[n]$$R_{1.2}=R_{2,1} = C$$n$$n-1$$n+1$

2. A menos que se saiba que o ruído é (ou se supõe ser) ruído branco, de modo que as amostras de ruído de diferentes instantes de amostragem sejam independentes (e, portanto, não correlacionadas) ou simplesmente assumamos amostras de ruído não correlacionadas, há informações que estamos ignorando por não considerar a correlação entre e , amostras do mesmo processo em momentos ou locais diferentes, e a correlação entre e , amostras dos dois processos em momentos ou locais diferentes. Essas informações adicionais podem levar a uma melhor estimativa / solução. Agora, temos um total de amostras de ruído e, portanto,x 1 [ m ] x 1 [ n ] x 2 [ m ] 2 N 2 N × 2 [ 1 ] , x 2 [ 2 ] , … , x 2 [ N ] ) T = ( x 1 , x 2 ) T R completo = [ R x$x_1[n]$$x_1[m]$$x_1[n]$$x_2[m]$$2N$R completo = E [ X X T ] X = ( x 1 [ 1 ] , x 1 [ 2 ] , … , X 1 [ N ] , x $2N \times 2N$matriz de covariância a considerar. Se organizarmos as coisas da maneira como os autores fizeram, temos onde e então onde . Observe que é, em essência, a função de correlação cruzada de e se$R_{\text{full}} = E[XX^T]$

   $$X = (x_1[1],x_1[2],\ldots,x_1[N],x_2[1],x_2[2],\ldots,x_2[N])^T = (\mathbf x_1,\mathbf x_2)^T$$ Rxi $$R_{\text{full}} = \left[ \begin{matrix}R_{\mathbf x_1,\mathbf x_1} & R_{\mathbf x_1,\mathbf x_2}\\ R_{\mathbf x_2,\mathbf x_1} & R_{\mathbf x_2,\mathbf x_2}\end{matrix} \right]$$ R x i , x j (xi[1],xi[2],…,xi[N])(xj[1],xj[2],…,Xj[N])i$R_{\mathbf x_i,\mathbf x_j} = E[\mathbf x_i\mathbf x_j^T]$$R_{\mathbf x_i,\mathbf x_j}$$(x_i[1],x_i[2],\ldots,x_i[N])$$(x_j[1],x_j[2],\ldots,x_j[N])$$i \neq j$ e a função de correlação automática se . Se os processos de ruído forem brancos e não correlacionados, exceto quando , então onde é a matriz de identidade e e são como definidos no item 1 acima. O quão realista esse modelo de ruído pode ser é algo que o usuário final deve determinar. Se o modelo for realista, nada será ganho observando a matriz$i = j$$n = m$ $$R_{\text{full}} \rightarrow R_{\text{simple}} = \left[ \begin{matrix}\sigma_1^2I & CI\\ CI & \sigma_2^2I \end{matrix}\right]$$ $I$$N\times N$$\sigma_1^2, \sigma_2^2$$C$$2N\times 2N$$R_{\text{full}}$ uma vez que todas as informações estão na matriz do Item 1 acima. O mesmo se o modelo não é realista, mas não pretendemos (ou somos incapazes de) usar todas as informações na matriz ; vamos nos contentar com apenas e da parte 1 para os quais não precisamos de ou , apenas .$2\times 2$$R_{2\times 2}$$2N\times 2N$$R_{\text{full}}$$\sigma_1^2, \sigma_2^2$$C$$R_{\text{full}}$$R_{\text{simple}}$$R_{2\times 2}$