Quando usar o DTFT vs o DFT (e seus inversos) na análise?

Em muitas de minhas leituras, sempre que algum autor fala sobre o trabalho no domínio da frequência (transformação) (de um sinal digital), geralmente usa o DFT, ou o DTFT (e, é claro, seus inversos correspondentes). Diferentes autores tendem a trabalhar com um ou outro.

Não consegui realmente determinar um padrão específico em relação a isso. Nisso, por que você escolheria o DTFT em vez do DFT ou vice-versa na explicação de algoritmos? Onde um ajuda você sobre o outro?

O DFT e o DTFT são obviamente semelhantes, pois ambos geram o espectro fourier de sinais discretos no tempo. No entanto, enquanto o DTFT é definido para processar um sinal infinitamente longo (soma de-infinito ao infinito), o DFT é definido para processar um sinal periódico (sendo a parte periódica de comprimento finito).

Sabemos que o número de compartimentos de frequência em seu espectro é sempre igual ao número de amostras processadas, portanto, isso também dá uma diferença nos espectros que eles produzem: o espectro DFT é discreto enquanto o espectro DTFT é contínuo (mas ambos são periódicos com respeito à frequência de Nyquist).

Como é impossível processar um número infinito de amostras, a DTFT é de menor importância para o processamento computacional real; existe principalmente para fins analíticos.

O DFT, no entanto, com seu comprimento finito do vetor de entrada, é perfeitamente adequado para processamento. No entanto, o fato de o sinal de entrada ser um trecho de um sinal periódico é desconsiderado a maior parte do tempo: Quando você transforma um espectro DFT de volta ao domínio do tempo, obtém o mesmo sinal no qual calculou o espectro. o primeiro lugar.

Portanto, embora isso não importe para os cálculos, você deve observar que o que você está vendo não existe o espectro real do seu sinal . É o espectro de um sinal teórico que você obteria se repetisse periodicamente o vetor de entrada.

Então, eu suponho que na literatura que você mencionou, toda vez que é importante que o espectro com o qual você está trabalhando seja realmente o espectro e desconsiderando o lado da computação, o autor escolheria o DTFT.

O DTFT é usado quando a matemática para provar algum ponto é mais fácil (economiza em papel e / ou giz) ao assumir um número infinito de amostras. Isso significa que é realmente inútil no mundo real (você estará morto muito antes de encontrar amostras suficientes).

A DFT é quando você escolhe um número finito útil de amostras para trabalhar (fornecendo uma boa matriz quadrada de tamanho finito equivalente multiplicado exato), sejam elas periódicas ou não (assumindo que a periodicidade do comprimento do quadro seja outra ilusão na mente de algumas pessoas) para tornar a matemática mais tratável). O uso de uma DFT, portanto, geralmente implica uma janela (retangular, se não outra coisa) que não é necessária na DTFT. Essa janela vem com artefatos às vezes desagradáveis, bem como a óbvia perda de informações sobre o sinal fora da janela, que é uma desvantagem da DFT.

$-\infty$$+\infty$