Existem alternativas para a transformação bilinear?

Ao projetar um filtro digital baseado em um filtro analógico, geralmente usamos a transformação bilinear . Para aproximar uma função de transferência discreta da função de transferência analógica (contínua) , substituímos$D_a(z)$$A(s)$

$$z = \frac{1+sT/2}{1-sT/2}$$

onde é o período de amostragem. Alternativamente, para aproximar uma função de transferência contínua da função de transferência discreta , substituímos$T$$A_a(s)$$D(z)$

$$s = \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}$$

Existem métodos alternativos para realizar essas conversões? Existem aproximações melhores?

Os filtros analógicos são estáveis ​​se os polos estiverem na metade esquerda do plano s (figura à esquerda) e os filtros digitais são estáveis ​​se os polos estiverem dentro do círculo da unidade (figura à direita). Portanto, matematicamente, tudo o que é necessário para converter de analógico para digital é um mapeamento (conforme?) Do meio espaço para o disco da unidade e o eixo $\jmath\Omega$ para o círculo da unidade $\vert z\vert=1$ . Qualquer transformação que faça isso é um possível candidato por ser uma alternativa à transformação bilateral.

Dois dos métodos bem conhecidos são o método de invariância de impulso e o método de transformação Z correspondente . Conceitualmente, ambos são semelhantes à amostragem de uma forma de onda contínua com a qual estamos familiarizados. Denotando a transformação inversa de Laplace por e a transformação Z como , esses dois métodos envolvem o cálculo da resposta de impulso do filtro analógico como$\mathcal{L}^{-1}$$\mathcal{Z}$

$$a(t)=\mathcal{L}^{-1}\{A(s)\}$$

e amostragem em um intervalo de amostragem que seja alto o suficiente para evitar aliases. A função de transferência do filtro digital é então obtida a partir da sequência amostrada como$a(t)$$T$$a[n]$

$$D_a(z)=\mathcal{Z}\{a[n]\}$$

No entanto, existem diferenças importantes entre os dois.

Método de invariância de impulso:

Neste método, você expande a função de transferência analógica como frações parciais (não na transformação Z correspondente, como mencionado por Peter ), como

$$A(s)=\sum_m \frac{C_m}{s-\alpha_m}$$

onde é uma constante e são os pólos. Matematicamente, qualquer função de transferência com um numerador de menor grau que o denominador pode ser expressa como uma soma de frações parciais . Somente filtros passa-baixo atendem a esse critério (passa-alto e passa-banda / batente de banda têm pelo menos o mesmo grau) e, portanto, o método invariante por impulso não pode ser usado para projetar outros filtros.$C_m$$\alpha_m$

A razão pela qual falha também é bastante clara. Se você tivesse um polinômio no numerador do mesmo grau que no denominador, terá um termo constante independente, que após a transformação inversa, fornecerá uma função delta que não pode ser amostrada.

Se você realizar as transformações inversas de Laplace e Z, verá que os polos serão transformados como que significa que, se o seu filtro analógico estiver estável, o filtro digital também estará estável . Por isso, preserva a estabilidade do filtro.$\alpha_m \to e^{\alpha_m T}$

Transformação Z correspondente

Nesse método, em vez de dividir a resposta do impulso como frações parciais, você faz uma transformação simples dos pólos e dos zeros de maneira semelhante (correspondida) como e (também preservando a estabilidade), fornecendo$\beta_m\to e^{\beta_m T}$$\alpha_m\to e^{\alpha_m T}$

$$A(s)=\frac{\prod_m (s-\beta_m)}{\prod_n (s-\alpha_n)}\longrightarrow \frac{\prod_m \left(1-z^{-1}e^{\beta_m T}\right)}{\prod_n \left(1-z^{-1}e^{\alpha_n T}\right)}$$

Você pode ver facilmente a limitação de ambos os métodos. A invariante de impulso é aplicável apenas se o seu filtro for passa-baixo e o método de transformação z correspondente for aplicável aos filtros de parada de banda e passa-banda (e passa-alto até a frequência de Nyquist). Na prática, eles também são limitados pela taxa de amostragem (afinal, você só pode ir até um certo ponto) e sofrem com os efeitos do alias.

A transformação bilinear é de longe o método mais utilizado na prática e os dois acima são mais para interesses acadêmicos. Quanto à conversão de volta para analógico, desculpe, mas não sei e não posso ajudar muito, pois quase nunca uso filtros analógicos.

Existem várias maneiras de fazer o mapeamento de para . A comunidade de controle tem algo a dizer sobre isso.$s$$z$

Alguns exemplos são:

A transformação Z combinada

Aqui, a função de transferência domain é escrita como uma expansão parcial de fração:$s$

$$Y(s) = \frac{a_0}{s + s_0} + \frac{a_1}{s + s_1} + ...$$

E a conversão de cada parte da expansão da fração parcial é feita diretamente usando:

$$s + s_n = 1 - z^{-1} \exp(-s_nT)$$

Regra de Simpson

Uma interpretação da transformação bilinear é que é uma maneira de transformar de tempo contínuo para tempo discreto por integração aproximada usando a Regra Trapezoidal .

Uma técnica mais precisa para integração aproximada usa a regra de Simpson. Se essa aproximação for usada, o mapeamento resultante será:

$$s = \frac{3}{T} \frac{z^2 - 1}{z^2+4z+1}$$