Interpretação intuitiva da transformada de Laplace

Então, eu estou entendendo as transformações de Fourier. Intuitivamente, agora eu entendo definitivamente o que ele faz e em breve vou seguir algumas aulas de matemática (portanto, o assunto atual). Mas então eu continuo lendo sobre a transformação de Laplace e aí eu meio que a perco. Qual é o momento de um sinal? Por que a transformada de Fourier é um caso especial da transformada de Laplace? Como posso lidar com a transformação de Laplace?

Eu olhei para essas fontes antes de fazer esta pergunta:

O que se entende por "resposta de impulso" e "resposta de frequência" de um sistema?

Como distinguir entre os diferentes domínios de frequência?

Resposta de amplitude versus frequência

Por que a transformação de Fourier é tão importante?

http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform

Se você entende as transformações de Fourier, provavelmente já possui um modelo conceitual de transformação de sinais no domínio da frequência. A transformada de Laplace fornece uma representação alternativa do domínio da frequência do sinal - geralmente chamado de "domínio S" para diferenciá-lo de outras transformações do domínio da frequência (como a transformação Z - que é essencialmente um equivalente descretizado da transformação de Laplace).

Qual é o momento de um sinal?

Como você certamente está ciente de que a transformada de Laplace nos fornece uma descrição de um sinal de seus momentos, semelhante à forma como a transformada de Fourier nos fornece uma descrição das fases e amplitudes.

Em termos gerais, um momento pode ser considerado como uma amostra diverge do valor médio de um sinal - o primeiro momento é realmente a média, o segundo é a variação etc ... (estes são conhecidos coletivamente como "momentos de uma distribuição")

Dada a nossa função F (t), podemos calcular a n-ésima derivada em t = 0 para dar o nosso n-ésimo momento. Assim como um sinal pode ser descrito completamente usando fase e amplitude, ele pode ser descrito completamente por todos os seus derivados.

Por que a transformada de Fourier é um caso especial da transformada de Laplace?

Se olharmos para a transformada bilateral de Laplace:

$s=i\omega$

Existem algumas notas sobre esse relacionamento ( http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_transform#Fourier_transform ), mas a matemática deve ser bastante transparente.

Por que a transformada de Fourier é um caso especial da transformada de Laplace?

$H(s)=\frac{1}{s+1}$

Visto de lado, a magnitude dessa transformação de Laplace forma uma superfície, com o pólo agindo como um pólo de barraca que eleva a amplitude ao infinito naquele ponto (e um zero implícito no infinito que diminui a amplitude para zerar o mais longe possível do origem em qualquer direção):

Se você pegar agora o valor da superfície apenas ao longo do eixo jω, essa é a transformação de Fourier. É a curva vermelha na imagem acima, que você pode ver como um filtro passa-baixo. Se você movesse o polo para mais longe da origem, a barraca se moveria na mesma direção e a fatia ao longo do eixo jω cairia, reduzindo o ganho (que compensamos pela adição de ganho geral) e aumentando a frequência de corte. Eu pretendo fazer algumas animações de coisas como esta ...

http://www.maximintegrated.com/en/app-notes/index.mvp/id/733

https://dsp.stackexchange.com/a/9579/29

A melhor descrição intuitiva da transformação de Laplace que eu já vi:

À primeira vista, parece que a estratégia da transformação de Laplace é a mesma da transformação de Fourier: correlacione o sinal no domínio do tempo com um conjunto de funções básicas para decompor a forma de onda. Não é verdade! Embora a matemática seja a mesma, a lógica por trás das duas técnicas é muito diferente.

A transformada de Laplace pode ser vista como sondando a resposta de impulso do sistema com vários sinusoides exponencialmente deteriorantes. As formas de onda de sondagem que produzem um cancelamento são chamadas de pólos e zeros.

$\omega$$s$$s=j\omega$

Há uma boa analogia para isso em um livro:

Agora, pense em como você entende a relação entre elevação e distância ao longo da rota do trem, comparada à do condutor. Como você mediu diretamente a elevação ao longo do caminho, pode afirmar com razão que sabe tudo sobre o relacionamento. Em comparação, o condutor conhece essa mesma informação completa, mas de uma forma mais simples e intuitiva: a localização das colinas e vales que causam quedas e colisões ao longo do caminho. Embora sua descrição do sinal possa consistir em milhares de medições individuais, a descrição do sinal pelo condutor conterá apenas alguns parâmetros.