Existe uma maneira de obter a resposta de impulso de um sistema discreto apenas sabendo que é resposta à função de etapa de unidade discreta?

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Em tempo contínuo foi possível;

u (t) ⟶ system ⟶ y (t) ⟹ δ (t) = \frac{d u (t)}{d t} ⟶ system ⟶ \frac{d y (t)}{d t} = h (t)

$u(t){\longrightarrow} \boxed{\quad\textrm{system}\quad} {\longrightarrow} y(t)\implies \delta(t)=\frac{du(t)}{dt}{\longrightarrow}\boxed{\quad\textrm{system}\quad}{\longrightarrow} \frac{dy(t)}{dt}=h(t)$

O mesmo se aplica ao sistema de tempo discreto, por exemplo,

δ [t] = \frac{d u [t]}{d t} where: {\begin{cases} δ [t] & is the discrete time delta \\ u [t] & is the discrete time unit step function \end{cases}

$\delta[t]=\frac{du[t]}{dt} \quad\textrm{where:}\begin{cases} \delta[t] &\textrm{is the discrete time delta}\\ u[t] & \textrm{is the discrete time unit step function}\end{cases}$

Existe uma maneira de obter a resposta de impulso de um sistema discreto apenas conhecendo a resposta da etapa da unidade discreta?

discrete-signals linear-systems

— pyler
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Incrível pergunta! Bem-vindo ao DSP.SE. Fique por aqui e contribua!

— Phonon

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Uma versão mais simples da resposta de Phonon é a seguinte.

Suponha que denota a resposta do sistema à função de etapa da unidade. Então, como discutido nesta resposta , em geral, é a soma das cópias em escala e com atraso de tempo da resposta ao impulso e, nesse caso em particular, nenhuma escala é necessária; apenas atrasos. Assim, onde cada um coluna à direita é uma resposta a impulsos (sem escala e) com atraso no tempo. Assim, obtemos facilmente que $y$ $y$

\begin{aligned} y [0] & = h [0] \\ y [1] & = h [1] + h [0] \\ y [2] & = h [2] + h [1] + h [0] \\ y [3] & = h [3] + h [2] + h [1] + h [0] \\ ⋮ & = ⋮ \end{aligned}

$\begin{align} y[0] &= h[0]\\ y[1] &= h[1] + h[0]\\ y[2] &= h[2] + h[1] + h[0]\\ y[3] &= h[3] + h[2] + h[1] + h[0]\\ \vdots~ &= ~\vdots \end{align}$

\begin{aligned} h [0] & = y [0] \\ h [1] & = y [1] - y [0] \\ h [2] & = y [2] - y [1] \\ ⋮ & = ⋮ \\ h [n] & = y [n] - y [n - 1] \\ ⋮ & = ⋮ \end{aligned}

$\begin{align} h[0] &= y[0]\\ h[1] &= y[1]-y[0]\\ h[2] &= y[2]-y[1]\\ \vdots~ &= ~\vdots\\ h[n] &~= y[n] - y[n-1]\\ \vdots~ &= ~\vdots \end{align}$ com nenhuma menção a filtros, inversos, convoluções, integração, operadores e similares, apenas simples conseqüências da definição de sistema linear invariante no tempo.

— Dilip Sarwate
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Você tem claramente feito isso há mais tempo que eu =)

— Phonon

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$D(\cdot)$ $y[n] = x[n] - x[n-1]$ $d[n]$ $*$

$u[n]$ $\delta[n]$ $u[n]$ $u[n] * d[n] = \delta[n]$

a [n] * b [n] = b [n] * a [n]

$a[n]*b[n] = b[n]*a[n]$

(uma [n] * b [n]) * c [n] = uma [n] * (b [n] * c [n])

$\left(a[n] * b[n]\right) * c[n] = a[n] * \left(b[n] * c[n]\right)$

x [n] = δ [n] * x [n] = você [n] * d [n] * x [n] = d [n] * você [n] * x [n] = d [n] * (você [n] * x [n])

$x[n] = \delta[n] * x[n] = u[n] * d[n] * x[n] = d[n] * u[n] * x[n] = d[n] * \left(u[n] * x[n]\right)$

$x[n]$ $\left(u[n] * x[n]\right)$

— Phonon
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Premissas:

$h(t)$ $s(t)$
$h[n]$ $s[n]$

Intuitivamente, a integração no domínio do tempo contínuo é equivalente à soma no domínio do tempo discreto. Da mesma forma, a derivada no domínio do tempo contínuo é equivalente à diferença finita no domínio discreto.

$u$ $\delta$

$u(t) = \int \delta(t)$
$u[n] = \sum_{k=0}^{\infty} \delta[n-k]$

$s$ $h$

$s(t) = \int h(t)$
$s[n] = \sum_{k=0}^{\infty} h[n-k]$

Agora, se você observar atentamente a última equação:

s [n] = \sum_{k = 0 0}^{\infty} h [n - k]

$s[n] = \sum_{k=0}^{\infty}h[n-k]$

$h[n]$ $s[n]$ $s[n-1]$

h [n] = s [n] - s [n - 1 1]

$h[n] = s[n] - s[n-1]$

— nurabha
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