Exponenciais complexas são as únicas funções próprias dos sistemas de LTI?

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Existe um exemplo de uma função própria de um sistema linear invariável no tempo (LTI) que não é um exponencial complexo? As autofunções de Justin Romberg da LTI Systems dizem que essas autofunções existem, mas não consigo encontrar uma.

linear-systems theory eigendecomposition

— Vinod
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Todas as funções próprias de um sistema LTI podem ser descritas em termos de exponenciais complexas, e exponenciais complexas formam uma base completa do espaço do sinal. No entanto, se você tiver um sistema degenerado , o que significa que você tem espaços próprios para a dimensão> 1, os vetores próprios para o valor próprio correspondente são todos uma combinação linear de vetores do subespaço. E combinações lineares de exponenciais complexas de diferentes frequências não são mais exponenciais complexas.

Exemplo muito simples: o operador de identidade 1 como um sistema LTI possui todo o espaço de sinal como espaço próprio com valor próprio 1. Isso implica que TODAS as funções são funções próprias.

— Jazzmaniac
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Exceto a função nula, é claro :) Apenas brincando

— Laurent Duval

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Eu pensei que tinha redigido minha resposta claramente --- aparentemente não :-). A pergunta original era: "Existem sinais autônomos além do complexo exponencial para um sistema de LTI?". A resposta é: se alguém recebe o fato de que o sistema é LTI, mas nada mais é conhecido, o único sinal de sinal confirmado é o exponencial complexo. Em casos específicos, o sistema também pode ter sinais de auto-sinal adicionais. O exemplo que dei foi o LPF ideal, pois sinc é um sinal de si mesmo. Observe que a função sinc não é um auto-sinal de um sistema LTI arbitrário. Dei o LPF e o sinc como exemplo para apontar um caso não trivial --- x (t) = y (t) satisfará um matemático, mas não um engenheiro: ->. Estou certo de que alguém pode apresentar outros exemplos não triviais específicos que têm outros sinais como sinais autônomos além do complexo exponencial.

Além disso, cos e pecado não são, em geral, sinais próprios. Se cos (wt) for aplicado e a saída for A cos (wt + theta), essa saída não poderá ser expressa como um tempo constante da entrada (exceto quando theta for 0 ou pi, ou A = 0), que é a condição necessário para que um sinal seja um sinal próprio. Pode haver condições sob as quais cos e pecado são sinais próprios, mas são casos especiais e não gerais.

CSR

— CSR
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Tem certeza de que entendeu meu comentário com sua outra resposta? O ponto é que, para sistemas reais de LTI, espera-se que ele tenha um seno real como sinal de si próprio. Isso não significa que todos os senos de todas as frequências são sinais autônomos. Especifiquei especificamente a condição exata para a qual são e expliquei por que essa condição é atendida pela maioria dos sistemas de LTI.

— Jazzmaniac

Além disso, não esqueça que você editou sua resposta para alterar um pouco o significado. O passo de "Para uma função de transferência racional, não há outros sinais autônomos" para "Para sistemas arbitrários, não há sinais autógenos gerais além de .." é bastante grande. Então, colocar como se as pessoas não entendessem sua resposta corretamente é um pouco demais.

— Jazzmaniac

0

Para qualquer sistema arbitrário de LTI, o exponencial complexo é, até onde eu sei, o único sinal próprio conhecido. Por outro lado, considere o LPF ideal. A função : $\operatorname{sinc}$

sinc (t) ≜ \frac{\sin (π t)}{π t}

$\operatorname{sinc}(t) \triangleq \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

\frac{\sin (π t)}{π t}

$\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

— CSR
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H (ω) = H^{*} (- ω)

$H(\omega)=H^*(-\omega)$

H (ω)

$H(\omega)$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

π

$\pi$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

— Jazzmaniac

1

\infty

$\infty$

1

sinc (t) ≜ \frac{\sin (π t)}{π t}

$\operatorname{sinc}(t) \triangleq \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

H (f) = 1 \forall | f | < \frac{1}{2}

$H(f)=1 \quad \forall |f|<\frac{1}{2}$

1

x (t) = e^{s t}

$x(t) = e^{st}$

y (t) = H (s) \cdot x (t)

$y(t) = H(s) \cdot x(t)$

H (s)

$H(s)$

h (t)

$h(t)$ ) parece uma função própria para mim. mas você está certo sobre as especificações da CSR.

— Robert Bristow-johnson

1

L^{2}

$L^2$

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Talvez objetos multidimensionais invariantes espacialmente como lentes com simetria circular. É chamada de expansão de Fourier Bessel. Não há T para o tempo, mas as relações no domínio da frequência de convolução se mantêm