Transformação de Fourier em tempo discreto

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Eu sou um estudante do ensino médio que tem um fascínio geral por eletrônica, programação e coisas do gênero. Recentemente, tenho aprendido sobre o processamento de sinais.

Infelizmente, ainda não fiz muito cálculo (desculpe-me), por isso estou um pouco confuso com as coisas.

Se você calcular a DTFT de um sinal, qual seria a diferença entre uma representação ou desse sinal? $\sin$ $\cos$
Com o DTFT, entendo que o sinal que você inseriu seria discreto no tempo, mas como no mundo você pode obter um sinal contínuo no domínio da frequência?
Isso leva à minha segunda pergunta, que é: como a DTFT é útil? Onde foi usado com a maioria dos aplicativos e por quê?

Eu apreciaria qualquer ajuda.

fourier-transform

— ElectroNerd
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Para minha primeira pergunta, acho que está apenas 90 ° fora de fase. No entanto, produzi alguns gráficos que indicam o contrário: i974.photobucket.com/albums/ae227/ElectroNerdy/… i974.photobucket.com/albums/ae227/ElectroNerdy/…

— ElectroNerd

Excelentes perguntas. Eu criei uma (s) resposta (s) para essas questões, especialmente no que diz respeito a como o DSP é trazido à mente dos jovens. (Isso é verdade no nível universitário). Envie-me um e-mail e eu posso mostrar um pouco do material (muito envolvido para postar aqui).

— Spacey

@Mohammad: Oi, você pode compartilhar esses materiais comigo em abidrahman2@gmail.com?

— Abid Rahman K

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É ótimo que você esteja interessado no processamento de sinais no estágio inicial do seu caminho educacional.

O melhor caminho para chegar lá é ler alguns livros de introdução sobre o assunto. Existem muitos recursos online gratuitos e gratuitos para você começar. [Nota para o estimado editor: bons livros de introdução podem ser realmente um bom tópico para um "adesivo"]. Eu uso às vezes

Um dos conceitos matemáticos mais importantes dos quais você precisará se familiarizar são os números "complexos". É claramente um nome impróprio, uma vez que não é realmente tão complicado e claramente torna quase toda a matemática da engenharia muito mais simples. Outro ótimo recurso gratuito para tudo relacionado à matemática é o http://www.khanacademy.org e, neste caso, especificamente o http://www.khanacademy.org/video/complex-numbers--part-1?topic=core-algebra

Voltando à sua primeira pergunta: Na verdade, existem quatro tipos diferentes de transformada de Fourier: série de Fourier (com maior probabilidade de aparecer na escola), transformada de Fourier, transformação discreta de Fourier e série discreta de Fourier. Todos eles usam uma combinação de seno e cosseno (ou um exponencial complexo, que é essencialmente a mesma coisa). Você precisará de ambos.

Digamos que você calcule os coeficientes de Fourier seno e cosseno de uma onda senoidal de entrada. (Sob certas condições), você encontrará que todos os coeficientes de Fourier serão zero, exceto um co-seno e um coeficiente senoidal. No entanto, dependendo da fase da onda senoidal de entrada, esses dois números se moverão. Você pode obter [0,707 0,707] ou [1 0] ou [0 -1] ou [-0,866 0,5] etc. Você verá que a soma dos quadrados desses dois números sempre será 1, mas a real Os valores dependem da fase da onda senoidal de entrada.

Se você quiser mergulhar fundo, tente o seguinte: http://www.dsprelated.com/dspbooks/mdft/

— Hilmar
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Oi Hilmar, obrigado pela resposta! Eu fiz bastante com números complexos e tenho que concordar: eles são relativamente simples. Isso é bom de ouvir. Depois de mexer um pouco mais, calculei a magnitude de um sinal de entrada sin e cos para o DTFT e descobri que a amplitude era a mesma para sin e cos. Obrigado especialmente pelos livros de referência, estarei ocupado por um tempo agora.

— ElectroNerd

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Você pode querer olhar para os materiais disponíveis através

Projeto INFINITY: expandindo o ensino de engenharia baseado em processamento de sinais para a sala de aula do ensino médio

disponível aqui

— Dilip Sarwate
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Isso parece muito interessante; Eu posso tentar recomendá-lo à minha escola.

— ElectroNerd

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A Transformada de Fourier de Tempo Discreto da DTFT recebe um Sinal Infinito discreto, pois sua entrada e saída no domínio da frequência são contínuas e têm um período de 2 * pi. Chegando ao seu uso, na minha experiência, a DFT (Discrete Fourier Transform) é a que é usada para fins práticos. Sob certas condições, é fácil mostrar que a DFT de um sinal finito e não periódico não passa de amostras equitativas de DTFT. Em geral, se zerarmos a seqüência no domínio do tempo (ou espaço), obteremos mais e mais amostras da DTFT.

Bottom line is DFT é muito útil e DFT pode ser visto como amostras igualmente espaçadas de DTFT, para obter mais amostras de DTFT, fazendo um zero pad do sinal ajuda.

— pv.
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Isso faz sentido: me disseram que quanto mais você provar no domínio do tempo, mais fina será a resolução no domínio da frequência depois de calcular o DTFT. Tenho graficamente isso usando Python e matplotlib ( Sine + preenchimento de zero , DTFT de preenchimento de zero Esse é um truque para fazer.

— ElectroNerd

Eu tenho que dizer que você tem que ter cuidado aqui. Um grande equívoco é que o preenchimento do sinal com zero aumenta a resolução da sua frequência - isso não acontece. A única maneira de realmente aumentar sua resolução de frequência é ter mais dados - mais amostras no domínio do tempo. Agora, dito isso, o preenchimento zero ajuda se você quiser observar seu espectro de frequências com pontos interpolados entre o que você realmente calculou.

— Spacey

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Primeiro de tudo, ajuda a resolver a terminologia:

Uma função no domínio do tempo é conhecida como sinal .
Uma função no domínio da frequência é conhecida como espectro .

{uma}_{n} = \frac{1}{π} \int^{T} s (x) porque n x d x

$a_n=\frac{1}\pi\int^Ts(x){\cos{nx}}\mkern3mudx$

b_{n} = \frac{1}{π} \int^{T} s (x) pecado n x d x

$b_n=\frac{1}\pi\int^Ts(x){\sin{nx}}\mkern3mudx$

s_{f} (x) = \frac{{uma}_{n}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} {uma}_{n} porque (n x) + b_{n} s Eu n (n x)

$s_f(x)=\frac{a_n}2+\sum_{n=1}^\infty{a_n\cos(nx)+b_nsin(nx)}$

s_{f} (x) = s (x)

$s_f(x)=s(x)$

Nesta equação, a _n e b _n são as partes reais e imaginárias do espectro discreto, respectivamente. Portanto, como você pode ver, a transformada de Fourier de um cosseno será um número real e, para um seno, será um número imaginário. A T sobre os meios integrais que estamos integrando em um período completo do sinal. Isso é usado principalmente no que é chamado de análise harmônica, que eu mais usei ao analisar circuitos analógicos com sinais não sinusoidais (ondas quadradas, ondas triangulares etc.) Mas e se o sinal não for periódico? Isso não funciona, e precisamos recorrer à transformação de Fourier.

A transformada de Fourier converte um sinal contínuo em um espectro contínuo. Diferentemente da série Fourier, a transformação Fourier permite que a função fora do período seja convertida em um espectro. Uma função não periódica sempre resulta em um espectro contínuo.

A transformada de Fourier em tempo discreto alcança o mesmo resultado que a transformada de Fourier, mas trabalha com um sinal discreto (digital) em vez de com um sinal contínuo (analógico). O DTFT pode gerar um espectro contínuo porque, como antes, um sinal não periódico sempre produz um espectro contínuo - mesmo que o sinal em si não seja contínuo. Um número infinito de frequências ainda estará presente no sinal, mesmo que seja discreto.

Portanto, para responder sua pergunta, o DTFT é sem dúvida o mais útil, pois opera em sinais digitais e, portanto, nos permite projetar filtros digitais. Os filtros digitais estão distantesmais eficiente que os analógicos. Eles são muito mais baratos, muito mais confiáveis e muito mais fáceis de projetar. O DTFT é usado em várias aplicações. Em cima da minha cabeça: sintetizadores, placas de som, equipamento de gravação, programas de reconhecimento de voz e voz, dispositivos biomédicos e vários outros. O DTFT em sua forma pura é usado principalmente para análise, mas o DFT, que recebe um sinal discreto e produz um espectro discreto, é programado na maioria das aplicações acima e é parte integrante do processamento de sinais na ciência da computação. A implementação mais comum da DFT é a Fast Fourier Transform. É um algoritmo recursivo simples que pode ser encontrado aqui . Eu espero que isso ajude! Sinta-se livre para comentar se você tiver alguma dúvida.

— Zetta Suro
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Como pv. o referido DFT é obtido por amostragem do DTFT no "Domínio da Frequência". Como você deve saber, um sinal de tempo discreto é obtido através da amostragem de um sinal de tempo contínuo. No entanto, para construir perfeitamente o sinal de tempo contínuo a partir de seu equivalente em tempo discreto, a taxa de amostragem DEVE ser maior que a taxa de Nyquist. Para que isso aconteça, o sinal de tempo contínuo deve ser limitado em frequência.

Para o DTFT e o DFT, a história é de alguma forma invertida. Você tem DTFT que é contínuo no domínio "Frequência". Basicamente, você não pode armazenar um sinal contínuo e processá-lo em um computador. A solução é amostragem! Então, você faz uma amostra do DTFT e chama o resultado de DFT. No entanto, de acordo com o teorema da amostragem para reconstruir o DTFT perfeitamente a partir do DFT, a contrapartida no domínio do tempo do DTFT DEVE ser "tempo" por tempo limitado. É por isso que é preciso usar a janela antes de tomar a DFT.

— Sina
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