Pode existir um filtro causal sem mudanças de fase?

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Quando eu estava estudando a dispersão do índice de refração em semicondutores e dielétricos, meu professor tentou explicar que se um filtro (como um dielétrico absorvendo algumas frequências de luz ou um filtro RC elétrico) remove algumas frequências, os demais devem ser deslocados de fase compensar as frequências (que são infinitamente espalhadas no tempo como sinais monocromáticos comuns) sendo subtraídas de todo o sinal, para preservar a causalidade.

Eu compreendo intuitivamente o que ele estava falando, mas o que não tenho certeza é se o argumento dele é realmente justificado - ou seja, se existe um filtro não trivial, que absorva algumas frequências e deixa as restantes não alteradas, mas ainda preservando causalidade. Parece que não consigo construir uma, mas não posso provar que ela também não existe.

Portanto, a pergunta é: como pode ser (des) provado que um filtro causal deve mudar as fases das frequências em relação umas às outras?

filters phase

— Ruslan
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$h(t)$ $H(f) = \mathcal F [h(t)]$ $H(f)$ $H(-f) = H^*(f)$

$x(t) = e^{j2\pi f t}$

y (t) = H (f) e^{j 2 π f t} = | H (f) | e^{j (2 π f t + ∠ H (f))}

$y(t) = H(f)e^{j2\pi f t} = |H(f)|e^{j(2\pi f t + \angle H(f))}$

∠ H (f) = 0

$\angle H(f) = 0$

f

$f$

$\angle H(f) = \theta$ $f$ $\theta$ $0$ $\angle H(-f) = -\angle H(f)$ $\angle H(f)$ $f$ $0$

$H(f)$ $f$ $h(t)$ $t > 0$ $-t$ $-t < 0$

Observe que o filtro não precisa suprimir nenhuma frequência, ou seja, não é necessário assumir que algumas frequências são "removidas" pelo filtro (como o filtro do professor do OP faz) para provar a alegação de que a mudança de fase zero não é possível com filtro causal, supressor de frequência ou não.

— Dilip Sarwate
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h (t) = δ (t)

$h(t)=\delta(t)$

Ótima resposta, mas se não estiver errado, a premissa de que a resposta de frequência é conjugada simétrica é baseada em uma resposta de impulso com valor real. Por que isso é uma suposição justa? Podemos ter uma função de transferência com coeficientes complexos que pode ser entendida como a combinação de 2 sistemas de LTI com valor real e fisicamente realizáveis. Isso significaria que a resposta em frequência não precisa ser conjugada simétrica, tornando a análise incompleta.

— ijuneja

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Existem filtros que causam uma mudança de fase `` linear '', ou seja, atraso constante. Não é possível filtrar nada (causalmente) sem causar nenhum atraso.

— user7358
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Bom ponto. Portanto, os tempos relativos podem ser preservados. E as próprias mudanças de fase - elas podem ser iguais para todas as frequências?

— Ruslan

Sim. Isso geralmente é chamado de fase linear ''. Você pode mostrar que a resposta de impulso desse filtro deve ser simétrica ou anti-simétrica.

— precisa saber é o seguinte

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A mudança de fase ocorre devido ao atraso de tempo, ou seja, o tempo gasto pelo sinal para chegar da entrada até a saída de um sistema. Agora, se o sistema não estiver causando nenhuma mudança de fase, significa que o atraso é zero. Agora pense em um sistema que está fornecendo saída no mesmo instante em que a entrada é aplicada. Isso será possível? Claro que não. Se houver um sistema, ele deve estar executando algum tipo de trabalho no sinal que produz atraso e, finalmente, mudança de fase

— Amit_DSP
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Parece que o que eu não percebi no momento em que escrevi a pergunta é que eu estava pensando em mudanças de fase relativas, não na mudança global em relação ao sinal original. Claro, o que você diz deve ter sido óbvio, embora não fosse.

— Ruslan

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Você pode ter um filtro sem mudança de fase. É chamado de observador (preditor). No entanto, não é mais apenas um filtro, mas um modelo matemático de como várias leituras de sensores se relacionam. Assim, você é capaz de prever o sinal e, assim, ter a melhor previsão possível do sinal real no mesmo instante em que você faz suas medições (sem mudança de fase).

— Martin
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Esse "filtro" não é causal.

— Ruslan

Claro que é causal. A definição de causal é que sua saída depende apenas de entradas passadas e presentes. "A palavra causal indica que a saída do filtro depende apenas das entradas passadas e presentes."

— Martin Martin