Média de ângulo

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Estou trabalhando em um demod 802.11a que funciona, na maioria das vezes, mas tem um bug que causa erros intermitentes. Não terminei de caracterizá-lo, mas parece que o problema está no meu bloco do equalizador.

802.11a é um sinal OFDM e cada símbolo OFDM possui 64 subcanais. Quatro desses subcanais são pilotos (dados conhecidos), nos subcanais 7, 21, -7 e -21. Eu uso os pilotos para corrigir qualquer deslocamento restante da transportadora (aparece como um deslocamento de fase constante nos pilotos) e o deslocamento de tempo (aparece como um deslocamento de liner - ou seja, o deslocamento de fase é 0 no compartimento 0 e cresce à medida que se afasta bin 0).

Faço uma média simples para detectar a fase de deslocamento da portadora e algumas manipulações simples antes de calcular a média para detectar o deslocamento da fase de tempo (por exemplo, multiplique o canal -21 por -1, multiplique o canal -7 por -3 e multiplique o canal 7 por 3). Estou intencionalmente deixando de fora alguns detalhes desnecessários, mas espero que isso dê a essência do que estou fazendo.

Meu problema é que a natureza circular dos ângulos pode fazer com que a média se comporte de maneiras catastróficas para certos valores. Por exemplo, imagine imaginar a média e . É fácil ver graficamente que a resposta deve ser ou , mas a fórmula de média padrão fornece a resposta 0, literalmente o oposto da resposta correta. $-\frac{4}{5}\pi$ $\frac{4}{5}\pi$ $-\pi$ $\pi$

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Qual é a maneira correta de obter ângulos médios?

Edição: Vou tentar tornar o que estou fazendo um pouco mais claro. Existem duas "condições de erro" que se manifestam de maneira diferente na saída da FFT. Primeiro, o deslocamento da portadora, que se manifesta como um deslocamento de fase constante.

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Nesse caso, calcular a média dos valores do piloto cartesiano em vez do ângulo, como John sugeriu, é uma boa idéia. Obrigado.

A segunda condição de erro é o deslocamento de tempo, que se manifesta como um deslocamento de fase linear. Quanto maior o deslocamento de tempo, maior a inclinação do deslocamento de fase. A inclinação também pode ser negativa, dependendo de o receptor estar à frente ou atrás de onde deveria estar.

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Agora, como é estritamente linear (a origem passa por zero), eu poderia, teoricamente, calcular a inclinação de apenas um piloto. Primeiro eu calcularia o deslocamento da fase de deslocamento da portadora (ou seja, a condição de erro nº 1), subtraí-o e depois usaria qualquer um dos quatro para calcular a inclinação. Isso evitaria calcular a média completamente. O problema é que o ruído pode fazer esses valores pularem, então minha estimativa é muito melhor se eu usar todos os quatro - portanto, a média.

Espero que a imagem acima deixe claro que eu não posso apenas pegar os valores do piloto e calculá-los como estão - eu tenho que modificá-los para torná-los um ruído constante +. Faço isso multiplicando o ângulo do piloto -21 por -1, o piloto -7 por -3, o piloto 7 por 3 e o piloto 21 por 1. Eles tornam-se equivalentes ao piloto 21 e podem ser calculados em média.

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Não conheço uma boa maneira de multiplicar o ângulo de um vetor por uma constante como "3" no sistema cartesiano; portanto, parece-me que eu teria que converter em coordenadas polares, multiplicar os ângulos por -1, -3, 3 e 1, respectivamente, convertem de volta para coordenadas cartesianas, calculam a média dos pilotos e depois convertem de volta para polar para obter o deslocamento de fase. Embora isso seja possível, eu gostaria de encontrar uma solução menos desajeitada, se possível.

demodulation polar

— Jim Clay
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Eu sempre calculo a média dos números complexos e tomo o ângulo desse resultado.

— John

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Eu também preferiria o método @ John. A soma dos números complexos na verdade corresponde a uma adição de vetor no plano complexo que gera um ângulo de no seu exemplo. Tomando o ângulo do resultado é suficiente como média só afeta a magnitude (a menos gama limitada de números é um problema)

π

$\pi$

— DEVE

@ John Esse é um ponto muito bom, mas, como no caso do deslocamento de tempo / fase, em que quero multiplicar o ângulo dos canais "7" por 3 antes de calcular a média, não vejo uma boa maneira de fazer isso. Eu acho que eu poderia converter para polar, multiplicar por 3, converter de volta para cartesiano, média e depois converter de volta para polar, mas isso é muito desajeitado.

— Jim Clay

@ JimClay: Por que você está calculando a média dos valores juntos? Isso não está claro em sua descrição. Em geral, você não deve fazer a média coerente de valores juntos, a menos que eles sejam de fato coerentes; caso contrário, você obtém a interferência destrutiva que você anotou. Eu acho que um pouco mais de detalhes ajudaria.

— Jason R

5

Como você apontou em sua edição, a média dos valores não é uma boa opção para esse tipo de problema. Uma alternativa simples seria simplesmente ajustar uma linha às medições em quatro fases usando um ajuste linear de mínimos quadrados . Isso deve ter um desempenho melhor do que a abordagem de ponto único.

Uma solução possivelmente ainda melhor seria ajustar um sinusóide às quatro amostras complexas. Isso evita que você precise calcular primeiro os ângulos de fase deles, o que pode causar uma degradação no desempenho em SNR baixo.

Além disso, para alcançar seu objetivo original de multiplicar a fase de um número complexo por 3, você pode fazer isso simplesmente levando cada número à terceira potência:

\arg (x^{3}) = 3 \arg (x)

$\arg(x^3) = 3 \arg(x)$

Obviamente, isso também afetará a magnitude de cada amostra, mas se você estiver preocupado apenas com a fase, normalmente poderá contornar isso. Ao fazer isso, no entanto, você limitará o intervalo de compensações de tempo em que seu estimador trabalhará. Multiplicar a fase de um número complexo por 3 apresentará uma ambiguidade de na saída (ou seja, você não seria capaz de detectar uma mudança na fase de ). Isso é semelhante às ambiguidades da fase de contestação que você costuma ver nos sistemas de sincronização PSK (como um loop Costas). $2\pi/3$ $2\pi/3$

— Jason R
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3

A maneira usual de abordar direcional é passar para uma abordagem vetorial (complexa).

Por exemplo, se suas observações são periódicas com o período , a média de observações, pode ser encontrada conforme a equação (1) do link acima: que escala para ser periódico acima de , executa uma soma complexa de vetores unitários, pega o argumento (ângulo) da soma complexa e, finalmente, redimensiona para . $P$ $N$ $\hat\alpha(n)$

{\hat{μ}}_{P} = \frac{P}{2 π} {[\arg (\sum_{n = 0}^{N - 1} e^{j 2 π \hat{α} (n) / P})]}_{2 π}

$\hat{\mu}_P = \frac{P}{2\pi} \left[ \arg \left ( \sum_{n=0}^{N-1} e^{j2\pi\hat\alpha(n)/P} \right) \right ]_{2\pi}$

\hat{α}

$\hat\alpha$

2 π

$2\pi$

[0, P)

$[0,P)$

Uma abordagem semelhante pode ser usada para obter uma "variação circular da amostra".

— Peter K.
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0

Eu mudaria o domínio de para e lidaria com tudo o módulo $[-\pi:+\pi)$ $[0:2\pi)$ $2\pi$ . Então você não precisa lidar com ângulos negativos.

Ou, como John mencionou, use números complexos para tudo, até onde você precisa de um ângulo real.

— Ryan Johnson
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2

O problema é que, apenas muda onde o problema ocorre, ele não se livra do problema. Por exemplo, imagine um ângulo de

0.1

$0.1$ ee ângulo de

2 π - 0.1

$2\pi - 0.1$ . A "média" seria

π

$\pi$ , que é, obviamente, a resposta errada.

— Jim Clay

Sim você está certo. Você precisaria fazer uma abordagem baseada em quadrante, como o cálculo da função atan2 e pelo mesmo motivo da descontinuidade em

\pm π

$\pm\pi$ (ou

0 / 2 π

$0/2\pi$ ) Isso não se prestaria bem ao desempenho de médias.

— Ryan Johnson

0

Aqui está um truque rápido que eu usei no passado para encontrar um "ângulo médio". É um pouco desajeitado e usa mais números mágicos do que eu gostaria, mas pelo menos é rápido e eficiente e não apresenta a falha catastrófica que a média aritmética simples fornece.

// median_average: find the "average angle" from some set of angles.
// pick A and B "well separated" from each other and from 0 --
// perhaps A =~= 2pi/3 and B =~= 4pi/3
average0 = (average{ (angles .- 0) mod 2pi } + 0) mod 2pi
averageA = (average{ (angles .- A) mod 2pi } + A) mod 2pi
averageB = (average{ (angles .- B) mod 2pi } + B) mod 2pi
average = median ( average0, averageA, averageB )

Normalmente guardo ângulos em algo como a representação "brad" , de modo que a operação "mod 2pi" seja uma rápida "bitand MASK".

Eu tenho uma prova de que a mediana de 3 médias intermediárias sempre fornece a média "correta" para quaisquer 2 ângulos que estão a menos de 2pi / 3; a mediana de 5 médias intermediárias sempre fornece a média "correta" para quaisquer 2 ângulos separados por menos de 4pi / 5 etc.

Sempre que esse algoritmo "median_average" calcula a média de 2 ângulos "não muito distantes", no máximo 1 das 3 médias simples intermediárias fornece um valor catastroficamente errado (no máximo 2 das 5 médias intermediárias). (Como você já mencionou, o valor "average0" está completamente errado ao tentar calcular a média de 0,1 e 2pi-0,1). A mediana final () lança o valor "errado" (se houver) e retorna uma das 2 médias corretas.

(Você considerou a possibilidade de que o deslocamento de tempo seja tão ruim que o deslocamento de fase cruze a linha + pi e "se mova" para -pi? Talvez você tenha sorte o suficiente para que isso nunca aconteça no seu sistema).

— David Cary
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Para calcular a média dos ângulos, você pode usar estatísticas circulares, conforme definido em Mardia KV, Jupp PE (2009, Directional Statistics, Vol. 494 Hoboken, NJ: Wiley) e como usado neste artigo, Eq. 10 :

A idéia por trás da Equação 10 é que, para calcular a média de uma quantidade circular, a posição e a direção precisam primeiro ser transformadas em um ângulo, que é então projetado no círculo unitário 2D onde a média aritmética é calculada. Depois disso, o ângulo que a posição média forma é transformado de volta de um ângulo para o espaço. Para posições, isso assume a forma:

$x_{p r e d}^{n e t} (t) = 1 + \frac{1}{2 π} arctan2 (\sum_{i}^{N_{e x c}} p_{i} (t) (\sin (2 π x_{i} - π)), \sum_{i}^{N_{e x c}} p_{i} (t) (\cos (2 π x_{i} - π)))$ $x_{pred}^{net}(t) = 1 + \frac{1}{2 \pi} \textrm{arctan2}(\sum_i^{N_{exc}} \mathit{p}_i(t) (\sin(2\pi x_i - \pi)), \sum_i^{N_{exc}} \mathit{p}_i(t) (\cos(2 \pi x_i - \pi)))$

no seu contexto, você tem $N$ medidas $\theta_i$ com probabilidades $p_i$ , a média $\theta$ é igual a:

θ = arctan2 (\sum_{i}^{N} p_{i} (\sin (2 π θ_{i} - π)), \sum_{i}^{N} p_{i} (\cos (2 π θ_{i} - π)))

$\theta = \textrm{arctan2}(\sum_i^{N} \mathit{p}_i (\sin(2\pi \theta_i - \pi)), \sum_i^{N} \mathit{p}_i (\cos(2 \pi \theta_i - \pi)))$

— meduz
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Sim, é basicamente o mesmo que a abordagem que sugeri ... embora o

θ

$\theta$ a equação que você tem está errada; Eu acredito no

1 +

$1 +$ não é necessário, nem é o

\frac{1}{2 π}

$\frac{1}{2\pi}$ . Editado para corresponder ao que eu acho correto. YMMV.

— Peter K.