Transformada de Fourier discreta real

Estou tentando entender o DFT real e o DFT e por que a distinção existe.

Pelo que sei até agora o DFT utiliza $e^{i2\pi kn/N}$ para vectores de base e dá a representação

x [n] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{i 2 π k n / N}

$x[n]=\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{i2\pi kn/N}$ A soma é escrito de

k = 0

$k=0$ a

N - 1

$N-1$ por razões históricas, acho que, em vez de escrevê-lo de uma maneira análoga à série de Fourier, com a soma indo de

k = - N / 2

$k=-N/2$ para

N / 2 - 1

$N/2-1$ :

x [n] = \sum_{k = - N / 2}^{N / 2 - 1} X [k] e^{i 2 π k n / N}

$x[n]=\sum_{k=-N/2}^{N/2-1}X[k]e^{i2\pi kn/N}$ Este depender de um peculiar anomalia da DFT onde as altas frequências são as mesmas que as negativas:

e^{i 2 π k n / N} = e^{i 2 π (k - N) n / N}

$e^{i2\pi kn/N}=e^{i2\pi (k-N)n/N}$

Continuando a analogia com a Série Fourier, o DFT real fornece a representação Isso pode ser visto como emparelhamentocomna representação DFT, em que a soma varia dea. Isto é muito parecido com o emparelhamento

x [n] = \sum_{k = 0}^{N / 2} (X_{R} [k] \cos (\frac{2 π k n}{N}) - X_{I} [k] \sin (\frac{2 π k n}{N}))

$x[n]=\sum_{k=0}^{N/2}\left(X_R[k]\cos\left(\frac{2\pi kn}{N}\right)-X_I[k]\sin\left(\frac{2\pi kn}{N}\right)\right)$

e^{i 2 π k n / N}

$e^{i2\pi kn/N}$

e^{- i 2 π k n / N}

$e^{-i2\pi kn/N}$

k = - N / 2

$k=-N/2$

N / 2 - 1

$N/2-1$

que conecta as duas representações de uma série de Fourier:

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ} = a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}=a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta$

\sum_{- \infty}^{\infty} c_{n} e^{i n θ} = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{1}^{\infty} (a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ)

$\sum_{-\infty}^\infty c_n e^{in\theta}= \frac{a_0}{2} + \sum_1^{\infty}(a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta)$

Minha perguntaentão é por que a DFT é muito mais prevalente que a DFT real? Seria de esperar que, uma vez que a DFT real está usando senos e cossenos com valor real como base e, portanto, representa melhor a imagem geométrica que as pessoas gostariam mais. Eu posso ver por que a DFT e a contínua transformada de Fourier seriam preferidas em um sentido teórico, pois a álgebra dos exponenciais é mais simples. Mas ignorando a álgebra mais simples, de um ponto de vista prático computacional aplicado, por que o DFT seria mais útil? Por que representar seu sinal com exponenciais complexos seria mais útil em várias aplicações de física, fala, imagem etc. do que decompor seu sinal em senos e cossenos. Além disso, se houver algo sutil que esteja faltando na minha exposição acima, gostaria de saber:

dft

— user782220
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A transformada de Fourier discreta real é importante pelo fato de que a aplicação da DFT usual a uma sequência real resulta em alguma redundância, pois para uma sequência real

comprimento

com a correspondente transformação

, a sequência

N

$N$

x_{0}, x_{1}, \dots, x_{N - 1}

$x_0,x_1,\dots,x_{N-1}$

X_{0}, X_{1}, \dots, X_{N - 1}

$X_0,X_1,\dots,X_{N-1}$

é precisamente o conjugado complexo da sequência

. É lógico, então, que é necessário apenas as entradas correspondentes às frequências positivas da transformação. Também se encontrará a chamadatransformação de Hartleyneste contexto. Ambas as abordagens são usadas.

X_{N - 1}, X_{N - 2}, \dots, X_{N / 2 + 1}

$X_{N-1},X_{N-2},\cdots,X_{N/2+1}$

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{N / 2 - 1}

$X_1,X_2,\dots,X_{N/2-1}$

BTW: Eu recomendo a leitura desses dois artigos sobre a transformada real de Fourier e a transformada de Hartley; eles fazem um bom trabalho ao explicar o interesse por esses métodos, além da própria DFT.

É verdade que a matriz da RDFT e a matriz da DFT estão relacionadas por uma mudança de base? E que a mudança de base é realmente um reflexo paralelo ao modo como as séries de Fourier podem ser representadas de duas maneiras com coeficientes relacionados por

. E o ponto chave no contexto da DFT é que as frequências superiores devem ser consideradas as frequências negativas, para que seja possível fazer o emparelhamento

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ} = a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}=a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta$

para obter senos e cossenos como na série fourier, dando ao RDFT

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ}

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}$

— user782220 10/10/2012

Um dos capítulos do Van Loan aborda sua pergunta em detalhes. Isso pressupõe alguma habilidade na manipulação dos produtos Kronecker.

No mínimo, você deve ter menos perguntas do que agora.

A vantagem da DFT complexa ou da transformada de Fourier complexa ou da série de Fourier complexa é que os sistemas lineares têm a propriedade agradável de que a resposta a é . (Aqui pode ser uma constante complexa). Portanto, a saída é apenas um múltiplo escalar da entrada. Mais importante, se tivermos uma representação da entrada como uma soma ponderada de exponenciais complexas, a saída será apenas outra soma ponderada dos mesmos exponenciais. Pesos diferentes, mas $A\exp(j\omega t)$ $H(\omega)A\exp(j\omega t)$ $A$ mesmo conjunto de exponenciais . Além disso, cada novo peso é obtido multiplicando o peso antigo por um número apropriado.

$\cos(\omega t)$ $\sin(\omega t)$

\begin{aligned} \cos (ω t) & = \frac{\exp (j ω t) + \exp (- j ω t)}{2} \\ \sin (ω t) & = \frac{\exp (j ω t) - \exp (- j ω t)}{2 j} \end{aligned}

$\begin{align*} \cos(\omega t) &= \frac{\exp(j\omega t) + \exp(-j\omega t)}{2}\\ \sin(\omega t) &= \frac{\exp(j\omega t) - \exp(-j\omega t)}{2j} \end{align*}$

In contrast, the response to $\cos(\omega t)$ is of the form $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ . So, while linearity and superposition etc all work, the output might well need the use of different basis functions than the input does. Very closely related, of course, but still possibly different and maybe more basis functions might be needed. For example, input $\cos(\omega t)$ is represented by one basis function, output $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ by two basis functions. It can be argued that complex functions require twice as much work as real functions and so any savings are purely imaginary (pun intended), but complex representations allow uniform treatment while sin/cos representations do not. Quick! Given the response to $\cos(\omega t)$ is $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ , what is the response to $\sin(\omega t)$ ? You have to work at it a bit, you may need to invoke formulas such as

\cos (α + β) = \cos (α) \cos (β) - \sin (α) \sin (β)

$\cos (\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$ and so on. With complex exponentials, life is a lot easier.

But, as in real life, your mileage may vary, and if you feel that sin/cos representations are the way to go and complex exponentials should be eschewed, you are free to follow your heart. If you have difficulty communicating your ideas to colleagues, bosses, clients or consultants, that will be their loss, not yours.

— Dilip Sarwate
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