Quando o alias é uma coisa boa?

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No livro de Hamming, A arte de fazer ciência e engenharia , ele relata a seguinte história:

Um grupo da Escola Naval de Pós-Graduação modulava um sinal de frequência muito alta até o ponto em que eles podiam se dar ao luxo de amostrar, de acordo com o teorema da amostra, como o entendiam. Mas eu percebi que se eles amostrassem inteligentemente a alta frequência, o próprio ato de amostragem modularia (também conhecido como). Após alguns dias de discussão, eles removeram o rack de equipamentos de redução de frequência e o restante do equipamento funcionou melhor!

Existem outras maneiras de usar o alias como técnica primária para processar um sinal, em oposição a um efeito colateral a ser evitado?

sampling bandpass

— datagrama
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Cuidado com o efeito de integração (efeito de abertura), que efetivamente coloca uma largura de banda de corte no transdutor. Os sinais de entrada que estão acima da largura de banda de corte devido ao efeito de integração não serão captados; portanto, não há como usar o alias em frequências muito altas.

— Rwong 03/09/19

@rwong Muito interessante.

— datageist

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O texto citado na pergunta é um caso de uso de amostragem de passagem de banda ou subamostragem .

Aqui, para evitar distorção de serrilhado , o sinal de interesse deve ser passa-banda . Isso significa que o espectro de potência do sinal é apenas diferente de zero entre . $f_L < |f| < f_H$

Se a amostragem do sinal a uma taxa , em seguida, a condição de que os espectros repetidas subsequentes não se sobrepõem meios que podem evitar a turbulência. Os espectros repetidos acontecem em todo múltiplo inteiro de . $f_s$ $f_s$

Matematicamente, podemos escrever essa condição para evitar distorção de aliasing como

\frac{2 f_{H}}{n} \leq f_{s} \leq \frac{2 f_{L}}{n - 1}

$\frac{2 f_H}{n} \le f_s \le \frac{2 f_L}{n - 1}$

onde é um número inteiro que satisfaz $n$

1 \leq n \leq \frac{f_{H}}{f_{H} - f_{L}}

$1 \le n \le \frac{f_H}{f_H - f_L}$

Você pode fazer isso com vários intervalos de frequência válidos, conforme ilustrado no diagrama abaixo (extraído do link da Wikipedia acima).

insira a descrição da imagem aqui

No diagrama acima, se o problema está nas áreas cinzentas, podemos evitar distorções de aliasing com a amostragem de banda - mesmo que o sinal amostrado seja um alias, não distorcemos a forma do espectro do sinal.

— Peter K.
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Peter, você poderia expandir sua resposta fornecendo mais detalhes e poucas ilustrações dos artigos vinculados? Digo isso porque o pdf é um link para a página pessoal de alguém e, se eles removerem o arquivo, a resposta perderá toda a sua utilidade! Em geral, ajuda se alguém parafrasear as informações dos links para que a resposta seja auto-suficiente e imune à podridão do link. Além disso, acredito que o OP estava solicitando outras aplicações além da amostragem por bandpass, nas quais o efeito de aliasing é deliberadamente usado para sua vantagem.

— Lorem Ipsum

@yoda: Vai fazer. Agora não há tempo (tem que cortar a grama!), Mas voltarei a ele hoje mais tarde.

— Peter K.

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Obrigado! Re: cortar, já que você tem um gramado e talvez um jardim também, posso lhe interessar no local da jardinagem ? Sou moderador desse site e temos bons conselhos sobre como cultivar / manter gramados e reparar gramados . Por favor, verifique-nos e sinta-se livre para fazer qualquer vegetariano / flor / árvore / composto, etc questões relacionadas!

— Lorem Ipsum

@yoda: Obrigado pela edição. Não sabia que é assim que você consegue o estilo de exibição! :-)

— Peter K.

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Você pode subamostrar a amostra sem que o sinal seja uma banda, desde que a frequência da imagem do sinal desejado seja destacada antes do amostrador. Com as taxas de frequência corretas, você pode amostrar dois sinais, um acima e outro abaixo da taxa de amostragem, desde que os sinais e as imagens não se sobreponham após o alias. Observe também que a subamostragem é muito menos tolerante ao jitter da amostra.

— hotpaw2

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Um exemplo que vem à mente é a desmodulação digital. O detector ideal para um esquema de modulação linear corresponde à filtragem e dizimação para a amostra do meio de cada símbolo.

A filtragem combinada pode não funcionar muito bem na redução da largura de banda, mas ainda queremos tomar decisões na taxa de símbolos.

O aliasing de energia, neste caso, faz parte da reconstrução dos símbolos modulados.

O ponto-chave é que a energia deve ser alias coerente na fase correta, ou seja, o tempo é crucial.

— Mark Borgerding
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A super-resolução é outra área em que o alias é necessário, ou, melhor dizendo, o sistema óptico não deve ser o elo mais fraco da cadeia (e os componentes ópticos que efetivamente suavizam o alias, como os filtros ópticos anti-moiré, não devem fazer parte do sistema). a corrente)

— Aurelio
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Outra vez, quando o aliasing não é um problema, é o projeto de filtros passa-baixo usados para dizimação. Você pode permitir uma certa quantidade de serrilhado após a operação de dizimação para relaxar as restrições no desempenho do filtro, resultando em um design de ordem inferior. Em vez de colocar a borda da banda de parada na frequência Nyquist pós-dizimação, você pode deslizá-la para fora o suficiente para que ela não retorne à faixa de passagem do filtro (e, portanto, corrompa seu sinal de interesse).

$f_s$ $D$ $f_p$ $\frac{f_s}{2 D}$

$\frac{f_s}{2 D} + \Delta f$ $\frac{f_s}{2 D} - \Delta f$ $f_{stop} = \frac{f_s}{2 D} + \Delta f$ $\Delta f$

f_{s t o p_{a l i a s e d}} = \frac{f_{s}}{2 D} - Δ f \geq f_{p}

$f_{stop_{aliased}} = \frac{f_s}{2 D} - \Delta f \ge f_p$

Δ f \leq \frac{f_{s}}{2 D} - f_{p}

$\Delta f \le \frac{f_s}{2 D} - f_p$

A solução disso é que, se ainda houver uma quantidade decente de superamostragem presente no sinal pós-dizimado ( existem algumas razões pelas quais você faria isso ), poderá empurrar a faixa de parada para fora por um valor não trivial. Como medida quantitativa, você pode observar as taxas de transição das especificações de filtro "ingênuo" e "relaxado":

T_{n a i v e} = \frac{f_{p}}{f_{s t o p_{n a i v e}}} = \frac{f_{p}}{\frac{f_{s}}{2 D}} = \frac{2 D f_{p}}{f_{s}}

$T_{naive} = \frac{f_p}{f_{stop_{naive}}} = \frac{f_p}{\frac{f_s}{2 D}} = \frac{2 D f_p}{f_s}$

T_{r e l a x e d} = \frac{f_{p}}{f_{s t o p_{r e l a x e d}}} = \frac{f_{p}}{\frac{f_{s}}{2 D} + (\frac{f_{s}}{2 D} - f_{p})} = \frac{f_{p}}{\frac{f_{s}}{D} - f_{p}}

$T_{relaxed} = \frac{f_p}{f_{stop_{relaxed}}} = \frac{f_p}{\frac{f_s}{2 D} + (\frac{f_s}{2 D} - f_p)} = \frac{f_p}{\frac{f_s}{D} - f_p}$

\frac{T_{r e l a x e d}}{T_{n a i v e}} = \frac{\frac{f_{p}}{\frac{f_{s}}{D} - f_{p}}}{\frac{2 D f_{p}}{f_{s}}}

$\frac{T_{relaxed}}{T_{naive}} = \frac{\frac{f_p}{\frac{f_s}{D} - f_p}}{\frac{2 D f_p}{f_s}}$

\frac{T_{r e l a x e d}}{T_{n a i v e}} = \frac{1}{2 - \frac{f_{p}}{\frac{f_{s}}{2 D}}}

$\frac{T_{relaxed}}{T_{naive}} = \frac{1}{2 - \frac{f_p}{\frac{f_s}{2 D}}}$

This last expression gives you a compact representation of the improvement in transition ratio that can be obtained by relaxing the filter specification in this way, parameterized by the ratio of the filter's passband (i.e. the signal of interest's bandwidth) to the post-decimation Nyquist frequency. Plotting this ratio as a function of the passband frequency (normalized by the post-decimation sample rate), you get:

Portanto, em resumo, se o seu sinal ainda estiver com excesso de amostra decente após a operação de dizimação, você poderá reduzir a taxa de transição do filtro em um fator de até 2, relaxando sua especificação dessa maneira. Como regra geral, o número de toques necessários para um filtro FIR é aproximadamente proporcional à taxa de transição. Ele permite algum alias ao executar a dizimação, mas as especificações são projetadas de modo que o alias não se sobreponha ao sinal desejado. Isso permite que seja removido posteriormente, se necessário, por um filtro que opera na taxa de amostragem dizimada $\frac{f_s}{D}$ .

— Jason R
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O aliasing pode realmente ser uma coisa boa sob certas condições.

Veja desta maneira: digamos que sua taxa de amostragem seja de 100 Hz. Digamos também que você tenha um sinal em algum lugar, que esteja entre, digamos, 990 a 1010 Hz. (Portanto, a largura de banda total é de 20 Hz e centralizada em 1000 Hz).

Ok, ótimo, e agora?

Vamos supor que você tenha amostrado esse sinal na sua taxa de 100 Hz. Tudo o que acontece é que o seu sinal (sentado de 990-1010, centralizado em 1000Hz) é copiado e alterado em múltiplos inteiros de 100, certo?

Então agora, de repente, você tem uma cópia do seu sinal 990-1010 original, exceto que agora você tem um centrado em 900, 800, 700, 600, etc, etc, e também 1100, 1200, 1300, etc. O BW é o o mesmo, é claro. Portanto, sua cópia do seu sinal centrado em 900 ocupa 890-910 Hz. A cópia em 800 Hz ocupa 790-810 Hz, e assim por diante. Você também terá uma cópia na 'banda base', (o que significa que está centralizada em 0Hz e, portanto, ocupa -10 a 10Hz).

Então, quando isso é útil? Bem, olhe o que você acabou de fazer - você conseguiu diminuir o sinal em 1000Hz, colocá-lo na banda base e tudo isso com um amostrador em apenas 100Hz! E adivinha! Você fez tudo isso legalmente, de acordo com Nyquist!

Isso ocorre porque Nyquist não diz que você precisa coletar pelo menos duas vezes a freqüência máxima - errado errado errado errado errado! (Mas é um equívoco muito comum.) Ele diz que você precisa amostrar pelo menos duas vezes a largura de banda máxima do seu sinal, que neste caso é 20Hz.

Aplicações? Bem, muitas estações de base para telefones celulares realmente usam essa técnica de "subamostragem". Portanto, o sinal do seu telefone celular está em uma faixa alta de Ghz, e a estação base é de amostragem na faixa de centenas de Mhz.

E, a propósito, vendo como Nyquist realmente funciona, não gosto do termo 'subamostragem' - porque isso implica que estamos, bem, subamostrando. Mas nós não estamos! Estamos seguindo completamente Nyquist e sempre amostrando pelo menos duas vezes a largura de banda máxima do sinal em questão.

— Spacey
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A resposta mais bem avaliada aqui já falou sobre subamostragem em alguns detalhes. Também é um pouco enganador sugerir que as estações base celulares amostram diretamente na frequência de rádio e usam subamostragem. Embora possa haver algum elemento de subamostragem usado, bons receptores tipicamente convertem de RF para uma frequência intermediária (IF) que é adequada para amostragem. Entre muitas outras razões, a amostragem nas zonas superiores de Nyquist é muito mais sensível à instabilidade no tempo de amostragem, portanto, você não gostaria de fazer isso para um sinal de dezenas de MHz de largura centrado em 1-2 GHz, por exemplo.

— Jason R

Yoda, Obrigado pelas dicas, este é o meu primeiro post. :-) Eu não sei o que você está falando, eu sou um orador / escritor apaixonado em geral! Vou manter os limites para siglas! :-) Jason, para as estações de base, eu disse centenas de MHz e não dezenas. Eu usei 20Hz no exemplo. Eu pessoalmente trabalhei nessas estações e elas funcionam muito bem. :-)

— Spacey