O CTFT inverso existe para um delta de dirac?

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A transformação de Fourier de tempo contínuo inverso existe para um delta de Dirac (um único pico causal / não causal)?

continuous-signals

— Mikhail
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Veja as respostas a uma pergunta recente relacionada sobre math.SE, que também lhe dirá como usar tabelas de pares de transformada de Fourier comuns em relação à variável de frequência do radiano

radianos / segundo para obter pares de transformada de Fourier em relação à variável de frequência

em Hertz . Para o caso particular de impulsos no tempo ou na frequência, a chave é a propriedade de peneiração :

ω

$\omega$

f

$f$

\int_{- \infty}^{\infty} x (y) δ (y - uma) d y = x (uma) E se x (y) é contínuo em uma .

$\int_{-\infty}^{\infty} x(y) \delta(y-a)\mathrm dy = x(a) ~ \text{if}~x(y)~\text{is continuous at}~a.$

— Dilip Sarwate

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$e^{2 \pi i f_0 t}$ $f_0$ $\delta(f - f_0)$ $\delta$

— pichenettes
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Essa é uma transformação muito importante que geralmente é encontrada em uma tabela de transformadas comuns de Fourier como esta .

— Jason R

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Como uma observação lateral: a Transformada de Fourier direta e inversa é basicamente a mesma coisa. Por exemplo, um retângulo em um domínio corresponde a um pecado (x) / x no outro domínio (independentemente de iniciar com tempo ou frequência). O mesmo vale para um delta: o impulso em um domínio corresponde a uma exponencial complexa no outro.

Você pode implementar uma FFT inversa (com base em uma FFT direta) da seguinte maneira:

pegue o conjugado
FFT para a frente
pegue o conjugado novamente
dividir pelo comprimento da sequência

No Matlab, seria assim

n = 1024;
x0 = randn(n,1) + j*rand(n,1); % random sequence
fx = fft(x0);  % take the FFT
x1 = conj(fft(conj(fx)))/n; % inverse fft based on fw fft
% print an error metric how close we got to the orginal signal
fprintf('Error = %6.2f dB\n', 10*log10(sum( (x1-x0).* conj(x1-x0))./sum(x0.*conj(x0))));

— Hilmar
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N

$N$

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Isso é verdade. A escala do Matlab é provavelmente a mais comum (e vista na maioria dos livros didáticos). 1 / sqrt (N) para a frente e a inversa seria melhor se ele garantir a versão mais limpa do teorema de Parseval, ou seja, energia no domínio do tempo é igual a energia no domínio da frequência.

— Hilmar