Quando podemos escrever o princípio da incerteza de Heisenberg como uma igualdade?

Sabemos que o Princípio da incerteza de Heisenberg declara que

Δ f Δ t \geq \frac{1}{4 π} .

$\Delta f \Delta t \geq \frac{1}{4 \pi}.$

Mas (em muitos casos, para a wavelet de Morlet), vi que eles mudaram a desigualdade para uma igualdade. Agora minha pergunta é quando é que podemos mudar a desigualdade para uma igualdade:

Δ f Δ t = \frac{1}{4 π}

$\Delta f \Delta t = \frac{1}{4 \pi}$ why =

fourier-transform wavelet resolution

— Homem elétrico
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parece muito interessante

— dato datuashvili

como eu sei que é igual, se distribuição de Gauss é a forma ideal, consulte este livro The Illustrated Transformada Wavelet Handbook: Teoria Introdução e Aplicações em Ciência, Engenharia, Medicina e Finanças

— dato datuashvili

o link está quebrado, envie um e-mail ao livro ou envie outro link, por favor? meu e-mail: <electricaltranslation@gmail.com> graças @datodatuashvili

— Electricman

Respostas:

É importante definir as larguras de tempo e frequência e de um sinal antes de discutir quaisquer formas especiais do princípio da incerteza. Não há uma definição única dessas quantidades. Com definições apropriadas, pode ser demonstrado que apenas o sinal gaussiano satisfaz o princípio da incerteza com igualdade. $\Delta_t$ $\Delta_{\omega}$

Considere um sinal com transformada de Fourier satisfazendo $f(t)$ $F(\omega)$

\int_{- \infty}^{\infty} f^{2} (t) d t = 1 (energia unitária) \int_{- \infty}^{\infty} t | f (t) |^{2} d t = 0 0 (centrado em torno t = 0 0) \int_{- \infty}^{\infty} ω | F (ω) |^{2} d ω = 0 0 (centrado em torno ω = 0 0)

$\int_{-\infty}^{\infty}f^2(t)dt=1\quad\textrm{(unit energy)}\\ \int_{-\infty}^{\infty}t|f(t)|^2dt=0\quad\textrm{(centered around }t=0)\\ \int_{-\infty}^{\infty}\omega|F(\omega)|^2d\omega=0\quad\textrm{(centered around }\omega=0)$

Nenhuma dessas condições é realmente uma restrição. Todos eles podem ser satisfeitos (para sinais com energia finita) por escala, tradução e modulação apropriadas.

Se agora definirmos as larguras de tempo e frequência da seguinte maneira

Δ_{t}^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} t^{2} | f (t) |^{2} d t Δ_{ω}^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} ω^{2} | F (ω) |^{2} d ω

$\Delta_t^2=\int_{-\infty}^{\infty}t^2|f(t)|^2dt\\ \Delta_{\omega}^2=\int_{-\infty}^{\infty}\omega^2|F(\omega)|^2d\omega$

então o princípio da incerteza afirma que

\begin{matrix} (2.6.2) & Δ_{t}^{2} Δ_{ω}^{2} \geq \frac{π}{2} \end{matrix}

$\Delta_t^2\Delta_{\omega}^2\ge\frac{\pi}{2}\tag{2.6.2}$

(se desaparecer mais rápido que para ) $f(t)$ $1/\sqrt{t}$ $t\rightarrow\pm\infty$

onde a desigualdade é satisfeita com a igualdade para o sinal gaussiano

\begin{matrix} (2.6.3) & f (t) = \sqrt{\frac{α}{π}} e^{- α t^{2}} \end{matrix}

$f(t)=\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}e^{-\alpha t^2}\tag{2.6.3}$

Os números da equação acima correspondem à prova abaixo, da Wavelets and Subband Coding de Vetterli e Kovacevic (p.80):

insira a descrição da imagem aqui

— Matt L.
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obrigado pela matemática, vou tentar entender. @ matt-l

— Electricman

@ Matt L .: Por que você define as larguras de tempo e frequência com um fator de peso quadrado? Vi na escola que as variações são e não. Variações de distribuições são com um fator de peso linear? O que é isso? Então, isso significa que esse princípio da incerteza não fala sobre as variações de uma função e a variação de seu espectro, mas sobre outra coisa?

— Martijn Courteaux 15/01/15

@ MartijnCourteaux: Essa é apenas uma maneira possível de definir a largura de um sinal. Quando aplicado a uma função de tempo, costuma ser chamado de duração do RMS e é simplesmente o segundo momento de

| f (t) |^{2}

$|f(t)|^2$

— Matt L.

É possível afirmar matematicamente um princípio de incerteza de Heisenberg que envolve o segundo momento de

? Eu posso entender que Heisenberg usou

, porque essa é a probabilidade de uma função de onda de partículas. Mas, eu gostaria de conhecer o princípio de Heisenberg no contexto do processamento de sinais.

f (t)

$f(t)$

| f (x) |^{2}

$|f(x)|^2$

— Martijn Courteaux 16/01/2015

@MartijnCourteaux: Esse é o princípio da incerteza no contexto do processamento de sinais. O segundo momento de

não tem uma interpretação como duração, porque

pode ser positivo e negativo. Imagine um sinal estranho

. Seu segundo momento

é sempre zero (se a integral convergir).

f (t)

$f(t)$

f (t)

$f(t)$

f (t)

$f(t)$

\int_{- \infty}^{\infty} t^{2} f (t) d t

$\int_{-\infty}^{\infty}t^2f(t)dt$

— Matt L.

Não posso lhe dar toda a teoria por trás disso (pois ela literalmente enche os livros), mas acontece que Heisenberg se torna uma igualdade exata para precisamente essa família de sinais:

s_{t_{0 0}, ω_{0 0}, σ, ϕ, γ} (t) = \exp (- {(\frac{t - t_{0 0}}{σ})}^{2} + Eu (ϕ + ω_{0 0} (t - t_{0 0}) + γ (t - t_{0 0})^{2}))

$s_{t_0,\omega_0,\sigma,\phi,\gamma}(t) = \exp\left(-\left(\frac{t-t_0}{\sigma}\right)^2 + i \left(\phi + \omega_0 (t-t_0) + \gamma (t-t_0)^2\right)\right)$

onde todos os parâmetros são números reais. Essa família é gerada por simplplomorfismos quadráticos em tempo-frequência a partir de um único átomo de Gabor. Esses simplectomorfismos preservam a relação de incerteza de Heisenberg.

$\Delta F \cdot \Delta T$ $\gamma$

A noção de área de frequência de tempo pode, no entanto, ser generalizada para medir a área de formas que não estão alinhadas com o eixo de tempo e frequência. Isso significa que, em vez do produto de incerteza entre F e T, medimos o produto mínimo de incerteza de quaisquer duas variáveis conjugadas abrangidas por F e T. Vou poupar os detalhes, mas para esta definição de área de tempo-frequência, a família de sinais fornece você é o mínimo.

— Jazzmaniac
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Não é o Gabuor fijlter fuonctiuons? `

— Jean-Yves

Uma razão pela qual "enche os livros" é que as muitas condições necessárias para a igualdade são definidas e limitadas com precisão (muitas vezes além de qualquer utilidade em qualquer outro contexto, como o mundo real).

— hotpaw2

O contexto original do princípio da incerteza de Heisenberg era a física, especificamente a mecânica quântica, onde as variáveis conjugadas em questão são posição e momento. Não se limita à análise de tempo / frequência.

— usar o seguinte comando

@BZ, você está pregando para o coral aqui. Sou físico quântico matemático. No entanto, não vejo bem o ponto do seu comentário aqui ou aquilo em sua própria resposta.

— Jazzmaniac

O princípio da incerteza estabelece um limite teórico para a resolução, portanto nunca é escrito como uma igualdade.

Os relacionamentos de igualdade que você está encontrando destinam-se a um contexto de análise específico e a uma implementação de análise. Nesse caso, o contexto é a análise de sinais, portanto tempo / frequência são as variáveis conjugadas de interesse e a implementação é a wavelet específica em uso.

O relacionamento de igualdade fornece uma maneira de comparar resoluções entre diferentes implementações de análise. Deve-se tomar cuidado ao interpretar esses relacionamentos, porque a definição de resolução não deve, mas pode variar.

Um relacionamento de igualdade é apropriado depois que você define duas coisas: 1) o significado matemático da resolução. 2) o método de análise (neste caso, escolha da wavelet).

— user2718
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Se você se aprofundar, o princípio de Heisenberg se torna muito mais do que uma afirmação sobre resolução. Está profundamente ligado à geometria da frequência do tempo em uma estrutura matemática chamada geometria simplética não comutativa. Ele fornece uma medida teórica da informação para informações de frequência do tempo e torna-se precisamente quantizado integralmente. Você pode até usá-lo para generalizar o teorema de Shannon para reconstrução de regiões TF arbitrárias.

— precisa saber é o seguinte

Na mecânica quântica, o princípio da incerteza é qualquer uma de uma variedade de desigualdades matemáticas que afirmam um limite fundamental para a precisão com a qual certos pares de propriedades físicas de uma partícula conhecida como variáveis complementares, como posição xe momento p, podem ser conhecidos simultaneamente. Por exemplo, em 1927, Werner Heisenberg afirmou que quanto mais precisamente a posição de uma partícula é determinada, menos precisamente seu momento pode ser conhecido e vice-versa. [Wikipedia - mas eu aprendi isso em Física e visitado novamente em classes de análise]

— user2718