Representação de séries de Fourier

Conceitualmente, quando queremos representar uma série peroidica, por exemplo, um trem de pulsos, encontramos os coeficientes de Fourier e obtemos uma representação no domínio do tempo.

No entanto, o que há de errado em conceituar o uso, digamos, de uma soma infinita de tempo, mudou as funções retas para representá-lo?

Desculpe, tive um problema de formatação, por isso estou colocando isso no post inferior ...

Meu método é assim:

Supondo que temos um pulso periódico $x(t)$ de tal modo que $x(t) = 1$ para $0 < t< T$ e $0$ para $T < t < T_p$ ; portanto $x(t)$ tem um período de $T_p$ .

Encontrar os coeficientes de Fourier Ck via:

C k = \frac{1}{T_{p}} \int_{- \infty}^{\infty} x (t) * e^{\frac{- j 2 π k t}{T_{p}}}

$Ck = \frac{1}{T_p} \int_{-\infty}^{\infty} x(t) * e^\tfrac{-j2\pi kt}{T_p}$

durante 1 período e, portanto, podemos representar x (t) como:

x (t) = \sum_{k} C_{k} e^{\frac{j 2 π k t}{T_{p}}}

$x(t) = \sum_k C_k e^\tfrac{j2\pi kt}{T_p}$

e fazendo a transformação de Fourier, obteremos este formulário:

X (f) = \sum_{k} C_{k} δ (f - k f_{p})

$X(f) = \sum_k C_k \delta(f-kf_p)$

o que é discreto.

No entanto, se considerarmos $x(t)$ para ser desta forma:

x (t) = \sum_{n} rect (\frac{t - n T_{p}}{T})

$x(t) = \sum_n \text{rect} \left(\frac{t-nT_p}{T} \right)$

Aplicando transformada de Fourier de $x(t)$ para obter (no formulário):

X (f) = \sum sinc * e^{- j * W}

$X(f) = \sum \text{sinc} * e^{-j*W}$ - (2)

onde sinc () é devido ao FT de rect e e ^ (- j * W) sai devido à propriedade de mudança de tempo do FT.

Comparando X (f) em (1) e (2), vemos que 1 é discreto e o outro contínuo.

No entanto, eles vêm do mesmo x (t), então isso não é uma contradição?

Desculpe pelo longo post.

homework

— John tan
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Não há nada errado em usar funções retas com deslocamento de tempo, e essas funções são de fato ortogonais. De fato, o processamento de sinal em tempo discreto substitui um sinal passa-baixo por uma sequência de números que são as amplitudes dessas funções retas com deslocamento no tempo, e ainda mais se você pensar em circuitos de amostra e retenção que substituam efetivamente uma forma de onda de tempo contínuo com uma série de repetições com deslocamento no tempo com diferentes amplitudes e são formas simples (mas imperfeitas) de conversão de D / A na outra extremidade.

— Dilip Sarwate

@Johntan A transformação Z é essencialmente apenas a quantidade de tempo que mudou as funções retas.

— Jim Clay

Você pode produzir uma onda quadrada somando um número infinito de ondas senoidais e você pode produzir uma onda senoidal somando um número infinito de ondas quadradas.

— endolith 30/03/12

Relacionados: math.stackexchange.com/q/58391

— endolith

Você pode usar a transformação de wavelet ortogonal de Haar para decompor um sinal em ondas quadradas em diferentes escalas.

— Spacey

Respostas:

No entanto, o que há de errado em conceituar o uso, digamos, de uma soma infinita de tempo, mudou as funções retas para representá-lo?

Não há nada conceitualmente errado nisso. As transformadas de Fourier decompõem um sinal em uma soma de sinusóides complexos, mas você também pode decompor um sinal em muitas outras coisas, o que pode ser mais útil em determinadas aplicações. A transformada wavelet de Haar, por exemplo, interrompe um sinal com a soma de pulsos retangulares:

insira a descrição da imagem aqui fonte

Usamos sinusóides em muitas aplicações, porque faz mais sentido nessas aplicações. Por exemplo, por que quase sempre decompomos sinais de áudio em sinusóides? Porque nossas cócleas fazem a mesma coisa:

insira a descrição da imagem aqui

— endólito
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Um diagrama muito bonito do ouvido interno - sobre as imagens à direita - eles estão mostrando onde certos comprimentos de onda ressoam?

— Spacey

@ Mohammad: Não sei ao certo o que o lado direito deve mostrar. Apenas que baixas frequências são detectadas pelas células ciliadas profundamente dentro da cóclea?

— Endolith

A principal razão para isso é que séries de cossenos e senos formam uma base ortogonal. Em seguida, você pode usá-lo para representá-lo em outro "espaço" (frequência "espaço", por exemplo).

Outras coisas, apenas para entender outras coisas relacionadas às séries de Fourier e Tranform:

Um seno ou cosseno é apenas 2 funções delta na representação de frequência (Transformada de Fourier). Uma função ret, tem uma representação de função de sincronização (que preenche estritamente todos os sprectra).

Então, usando a representação de Fourier em frequência, você pode interpretar facilmente quais são os componentes de frequência do seu sinal e filtrá-lo de acordo.

Outra coisa para entender melhor o uso dos coeficientes de Fourier é entender a relação entre a transformada de Fourier e esses coeficientes ( Explicação 1 , Explicação 2 ).

Usamos a série Fourier para funções periódicas e a transformada de Fourier para tudo.

— Luis Andrés García
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Obrigado pela sua explicação. Portanto, se considerarmos o espectro de frequências usando as 2 representações semelhantes, teremos um espectro de frequências discreto (se considerarmos as funções delta) e, por outro lado, um espectro contínuo (se considerarmos a função sinc). Não é contraditório?

— John tan

Até você entender muito bem os coeficientes de Fourier e assim por diante, eu não misturaria contínuo (Fourier Trans.) E discreto (DFT). Você poderia escrever os passos que está fazendo?

— Luis Andrés García

Podemos usar a série Fourier para aproximar localmente as funções aperiódicas criando uma extensão periódica.

— Emre

Desculpe, tive um problema de formatação, por isso estou colocando isso no post inferior.

Meu método é assim:

Supondo que temos um pulso periódico $x(t)$ de tal modo que $x(t) = 1$ para $0 < t< T$ e $0$ para $T < t < Tp$ ; portanto $x(t)$ tem um período de $Tp$ .

Encontrando os coeficientes de Fourier $Ck$ através da:

C k = 1 / T p \int^{T} (x (t) * e^{(- j * 2 * p i * k * t / T p)})

$Ck = 1/Tp \int^T ( x(t) * e^{(-j*2*pi*k*t/Tp)})$

e assim podemos representar $x(t)$ Como:

x (t) = \sum (C k * e^{(j * 2 * p i * k * t / T p)})

$x(t) = \sum (Ck * e^{(j*2*pi*k*t/Tp)})$ sobre todo int k

e fazendo a transformação de fourier, obteremos este formulário:

X (f) = \sum (C k * δ (f - k f p))

$X(f) = \sum (Ck * \delta(f-kfp))$ sobre tudo int k - (1)

o que é discreto.

No entanto, se considerarmos que x (t) seja desta forma:

x (t) = \sum (r e c t [(t - n T p) / T])

$x(t) = \sum(rect[(t-nTp)/T])$

Aplicando a transformação de Fourier de x (t) para obter (no formato):

X (f) = \sum [s i n c * e^{(} - j * W)]

$X(f) = \sum[ sinc * e^(-j*W) ]$ - (2)

onde sinc () é devido ao TF de rect e ao $e^{(-j*W)}$ sai devido à propriedade de mudança de horário do FT.

Comparando $X(f)$ em (1) e (2), vemos que 1 é discreto e o outro contínuo.

No entanto, eles vêm do mesmo $x(t)$ , então isso não é uma contradição?

Desculpe pelo longo post.

— John Tan
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Seu

X (f)

$X(f)$ está errado; estão faltando fatores de

T_{p}

$T_p$ no argumento dos exponenciais, bem como no que você escreve simplesmente como

sinc

$\text{sinc}$ . Se você fizer isso corretamente, obterá um somatório de um número infinito de funções exponenciais que lhe dão impulsos de diferentes magnitudes. Não há transformação de Fourier de funções periódicas , a menos que você admita funções ou distribuições generalizadas, como os matemáticos as chamam, ou impulsos ou "funções delta", como os engenheiros gostam de dizer. Você usa

F (sum) = sum F

$\mathcal F(\text{sum}) = \text{sum}\ \mathcal F$ que precisa de justificação se a soma é infinita.

— Dilip Sarwate