Diferença entre transformada discreta de Fourier e transformada discreta de Fourier

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Eu li muitos artigos sobre DTFT e DFT, mas não sou capaz de discernir a diferença entre os dois, exceto por algumas coisas visíveis, como DTFT vai até o infinito, enquanto DFT é apenas até N-1. Alguém pode explicar a diferença e quando usar o quê? Wiki diz

A DFT difere da transformada de Fourier em tempo discreto (DTFT), pois suas seqüências de entrada e saída são finitas; é, portanto, considerada a análise de Fourier das funções de tempo discreto de domínio finito (ou periódico).

É a única diferença?

Edit: Este artigo explica bem a diferença

discrete-signals fourier-transform

— BaluRaman
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O DTFT é uma função contínua da frequência, mas o DFT é uma função discreta da frequência.

— John

O ponto principal é:DFT is sampled version of DFT and the rate is the length of DFT

— nmxprime

@nmxprime Você quer dizer que a DFT é uma amostra da versão da DTFT?

— endolith

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@endolith Yes.it é

— nmxprime 3/16

O artigo que você vinculou (página 2) diz que "a CTFT nos deu um espectro de frequência discreto". Isso não está errado? Eu pensei que a frequência fosse contínua nesse caso de sinal aperiódico de tempo contínuo passando pela Transformada de Fourier.

— Aditya P

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A transformada de Fourier em tempo discreto (DTFT) é a transformada de Fourier (convencional) de um sinal em tempo discreto. Sua produção é contínua em frequência e periódica. Exemplo: para encontrar o espectro da versão amostrada de um sinal de tempo contínuo o DTFT pode ser usado. $x(kT)$ $x(t)$

A transformada discreta de Fourier (DFT) pode ser vista como a versão amostrada (no domínio da frequência) da saída DTFT. É usado para calcular o espectro de frequência de um sinal de tempo discreto com um computador, porque os computadores podem lidar apenas com um número finito de valores. Eu argumentaria contra a saída DFT sendo finita. Também é periódico e, portanto, pode ser continuado infinitamente.

Resumindo:

                DTFT                | DFT
       input    discrete, infinite  | discrete, finite *)
       output   contin., periodic   | discrete, finite *)

*) Uma propriedade matemática do DFT é que tanto a entrada quanto a saída são periódicas com o comprimento do DFT . Ou seja, embora o vetor de entrada para o DFT seja finito na prática, é correto dizer que o DFT é o espectro amostrado se a entrada DFT for periódica. $N$

— Deve
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você não significa que a entrada DTFT é no finito?

— Dr. Lutz Lehmann

@LutzL Pode ser infinito em geral, sim. Eu vou mudar isso. E a saída DFT: você prefere chamá-la de finita ou periódica ?

— DEVE

i acha saída de DFT é N-periódica, sequência finita

— BaluRaman

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Na DFT, muito depende da interpretação. Do ponto de vista técnico, transforma finito em finito. Do ponto de vista que ele calcula os coeficientes de um polinômio trigonométrico, pode-se dizer que ele transforma infinitos periódicos discretos em finitos. Mas pode-se mudar a janela de frequências usada para representar a entrada, e as amplitudes em todas as frequências possíveis formam novamente uma sequência periódica.

— Dr. Lutz Lehmann

Para ser mais consistente, eu colocaria "periódico" em vez de "finito" para a entrada da DFT. Esta é uma conseqüência direta da DFT (saída) ser discreta.

— Matt L.

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tudo bem, eu vou responder isso com um argumento que os "oponentes" à minha rígida posição nazista em relação à DFT têm.

Em primeiro lugar, minha posição rígida e nazista : a DFT e a Discrete Fourier Series são a mesma coisa. o DFT mapeia uma sequência infinita e periódica, $x[n]$ com o período $N$ no domínio "tempo" para outra sequência infinita e periódica, $X[k]$ , novamente com o período $N$ , no domínio "frequência". e o iDFT mapeia de volta. e são "injetáveis" ou "invertíveis" ou "particulares".

DFT:

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N}

$X[k] = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi nk/N}$

iDFT:

x [n] = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{j 2 π n k / N}

$x[n] = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j 2 \pi nk/N}$

isso é fundamentalmente o que é o DFT. é inerentemente uma coisa periódica ou circular.

mas os negadores da periodicidade gostam de dizer isso sobre a DFT. é verdade, simplesmente não altera nenhuma das opções acima.

então, suponha que você tenha uma sequência de comprimento finito $x[n]$ de comprimento $N$ e, em vez de estendê-la periodicamente (que é o que a DFT faz inerentemente), acrescente essa sequência de comprimento finito com zeros infinitamente à esquerda e à direita. então

\hat{x} [n] ≜ {\begin{cases} x [n] & for 0 \leq n \leq N - 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$\hat{x}[n] \triangleq \begin{cases} x[n] \qquad & \text{for } 0 \le n \le N-1 \\ \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

agora, esta sequência infinita não-repetição faz ter uma DTFT:

\hat{X} (e^{j ω}) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \hat{x} [n] e^{- j ω n}

$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n}$

$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$ é a transformada z deavaliadas na unidade círculopara infinitamente muitasverdadeirosvalores de. Agora, se estivesse a amostra que TFTDempontos igualmente espaçados sobre o círculo unitário, com um ponto em, que se obtém $\hat{x}[n]$ $z=e^{j\omega}$ $\omega$ $\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$ $N$ $z=e^{j\omega}=1$

\begin{aligned} \hat{X} (e^{j ω}) |_{ω = 2 π \frac{k}{N}} & = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \hat{x} [n] e^{- j ω n} |_{ω = 2 π \frac{k}{N}} \\ = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \hat{x} [n] e^{- j 2 π k n / N} \\ = \sum_{n = 0}^{N - 1} \hat{x} [n] e^{- j 2 π k n / N} \\ = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π k n / N} \\ = X [k] \end{aligned}

$\begin{align} \hat{X}\left(e^{j\omega}\right)\Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n} \Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = X[k] \\ \end{align}$

é exatamente assim que o DFT e o DTFT estão relacionados. amostragem da TFTD em intervalos uniformes nas causas de domínio "frequência", no domínio de "tempo", a sequência original para ser repetido e deslocado por todos os múltiplos de e adicionou-se sobrepõem. é isso que a amostragem uniforme em um domínio causa no outro domínio. mas, uma vez que é a hipótese de ser no exterior do intervalo de , que se sobrepõem-adição não faz nada. que apenas periodicamente se estende a parte diferente de zero de $\hat{x}[n]$ $N$ $\hat{x}[n]$ $0$ $0 \le n \le N-1$ $\hat{x}[n]$ , nossa sequência de comprimento finito original, $x[n]$ .

— Robert Bristow-Johnson
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A resposta aceita foi boa, mas achei sua resposta mais esclarecedora. Obrigado por fornecer a conexão matemática real entre o DTFT e o DFT ... especialmente a amostragem dos espectros, causando periodicidade no domínio do tempo. Esse é um ponto que eu sempre esqueço.

— rayryeng - Restabelece Monica

Seu segundo parágrafo parece sugerir que os DFTs aceitam sequências de entrada com tamanho infinito. Alguém já realizou uma DFT de tamanho infinito?

— Richard Lyons

ei Rick, é bom vê-lo aqui no comp.dsp . Lembro-me de ter sido recebido pelo @PeterK quando migrou pela primeira vez (mas nunca deixarei o comp.dsp ). de qualquer maneira, no mesmo grau em que o DFS aceita uma sequência de entrada de tamanho infinito, é o grau em que o DFT aceita uma entrada de tamanho infinito. tudo o que estou dizendo é que o DFT e o DFS são um e o mesmo.

— Robert Bristow-johnson

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@robert bristow-johnson. essa foi uma bela explicação. minha pergunta pode ser ruim, mas, por séries discretas de fourier, você está se referindo ao caso em que a entrada é uma função periódica contínua que continua infinitamente nas duas direções, correto? Pelo que me lembro dizer, ao ler o livro doverton de george silov, se você aumentar o número de coeficientes de fourier usando uma grade de frequências suficientemente fina, a série de fourier pode reproduzir arbitrariamente de perto uma função contínua de período. este é o fs que você está se referindo, quando você diz que é o mesmo que DFT, correto? THX.

— marca de leeds

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N}

$X[k] = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi nk/N}$

x [n] = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{j 2 π n k / N}

$x[n] = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j 2 \pi nk/N}$

x [n]

$x[n]$

X [k]

$X[k]$

N

$N$

x [n + N] = x [n] \forall n \in Z

$x[n+N] = x[n] \qquad \forall n \in \mathbb{Z}$

X [k + N] = X [k] \forall k \in Z

$X[k+N] = X[k] \qquad \forall k \in \mathbb{Z}$

N

$N$

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Como a saída DTFT é contínua, ela não pode ser processada com computadores. Portanto, temos que converter esse sinal contínuo em forma discreta. Nada mais é do que a DFT como um avanço adicional na FFT para reduzir os cálculos.

— gaurav singhal
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Se eu estiver correto, mesmo que a entrada DFT seja periódica, embora o número de amostras seja finito, a matemática por trás dela a trata como uma sequência infinita que periodicamente inicia as Namostras após seu término. Por favor corrija-me se eu estiver errado.

— ubuntu_noob
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alguns no comp.dsp com os quais tive argumentos podem "corrigi-lo", mas estão errados. não há diferença entre o DFT e o discreto Fourier Series. nenhum.

— Robert Bristow-johnson

Para me ajudar a entender o que está sendo dito aqui, tenho uma pergunta sobre o resultado da operação que você chama de "série discreta de Fourier". Essa saída é uma sequência de números ou uma função contínua (uma equação)?

— Richard Lyons

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X [k] = \sum_{n = 0 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N}

$X[k]=\sum_{n=0}^{N−1} x[n] e^{−j2\pi nk/N}$ SEU INVERSO SERÁ:

x [n] = \frac{1}{N} \sum_{k = 0 0}^{N - 1} X [k] e^{j 2 π n k / N}

$x[n]=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N−1} X[k] e^{j2\pi nk/N}$

— user25761
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Use a marcação Latex para que sua matemática seja legível e explique um pouco mais do processo que você seguiu, para que sua resposta possa realmente ajudar o OP.

— MBaz 5/01