Você também pode aproximar a função de raiz quadrada usando o Método de Newton . O método de Newton é uma maneira de aproximar onde estão as raízes de uma função. É também um método iterativo em que o resultado da iteração anterior é usado na próxima iteração até a convergência. A equação do método de Newton para adivinhar onde a raiz tem uma função dada uma suposição inicial é definida como:f(x)x0
x1=x0−f(x0)f′(x0)
x1 é o primeiro palpite de onde a raiz está localizada. Continuamos reciclando a equação e usando resultados de iterações anteriores até a resposta não mudar. Em geral, para determinar a suposição da raiz na iteração , dada a suposição na iteração, é definido como:(n+1)n
xn+1=xn−f(xn)f′(xn)
Para usar o método de Newton para aproximar a raiz quadrada, suponha que recebamos um número . Como tal, para calcular a raiz quadrada, precisamos calcular Dessa forma, procuramos encontrar uma resposta tal que . Esquadre os dois lados e movendo para o outro lado da equação produz . Como tal, a resposta para esta equação é e, portanto, é a raiz da função. Como tal, seja a equação da qual queremos encontrar a raiz. Substituindo isso no método de Newton, e, portanto:aa−−√x=a−−√ax2−a=0a−−√f(x)=x2−af′(x)=2x
xn+1=xn−x2n−a2xn
xn+1=12(xn+axn)
Portanto, para calcular a raiz quadrada de , precisamos simplesmente calcular o método de Newton até convergir. No entanto, como observado por @ robertbristow-johnson, a divisão é uma operação muito cara - especialmente para microcontroladores / DSPs com recursos limitados. Além disso, pode haver um caso em que um palpite pode ser 0, o que resultaria em um erro de divisão por 0 devido à operação de divisão. Como tal, o que podemos fazer é usar o método de Newton e resolver a função recíproca , por exemplo, . Isso também evita qualquer divisão, como veremos mais adiante. Esquadrar os dois lados e mover para o lado esquerdo resulta em . Portanto, a solução para isso seriaa1x=a−−√a−−√1x2−a=01a√ . Ao multiplicar por , obteríamos o resultado pretendido. Novamente, usando o método de Newton, temos assim:a
xn+1=xn−f(xn)f′(xn)
xn+1=xn−1(xn)2−a−2(xn)3
xn+1=12(3xn−(xn)3a)
No entanto, há um aviso que devemos considerar ao examinar a equação acima. Para raízes quadradas, a solução deve ser positiva e, para que as iterações (e o resultado) sejam positivas, a seguinte condição deve ser atendida:
3 x n > ( x n ) 3 a ( x n ) 2 a < 3
3xn−(xn)3a>0
3xn>(xn)3a
(xn)2a<3
Portanto:
(x0)2a<3
Portanto, dado o número do qual desejamos calcular a raiz quadrada, a suposição inicial deve satisfazer a condição acima. Como isso finalmente será colocado em um microcontrolador, poderíamos começar com qualquer valor de (por exemplo, 1), e continuar repetindo e diminuindo o valor de até que a condição acima seja satisfeita. Observe que evitei fazer divisão para calcular diretamente qual o valor dex 0 x 0 10 - 6x0x0x0deve ser como divisão é uma operação cara. Quando tivermos o nosso palpite inicial, repita o método de Newton. Observe que, dependendo da estimativa inicial, pode levar um tempo menor ou maior para convergir. Tudo depende de quão perto você está da resposta real. Você pode limitar o número de iterações ou aguardar até que a diferença relativa entre as duas raízes seja menor que algum limite (como ou mais).10−6
Como sua tag está procurando um algoritmo C, vamos escrever um muito rapidamente:
#include <stdio.h> // For printf
#include <math.h> // For fabs
void main()
{
float a = 5.0; // Number we want to take the square root of
float x = 1.0; // Initial guess
float xprev; // Root for previous iteration
int count; // Counter for iterations
// Find a better initial guess
// Half at each step until condition is satisfied
while (x*x*a >= 3.0)
x *= 0.5;
printf("Initial guess: %f\n", x);
count = 1;
do {
xprev = x; // Save for previous iteration
printf("Iteration #%d: %f\n", count++, x);
x = 0.5*(3*xprev - (xprev*xprev*xprev)*a); // Find square root of the reciprocal
} while (fabs(x - xprev) > 1e-6);
x *= a; // Actual answer - Multiply by a
printf("Square root is: %f\n", x);
printf("Done!");
}
Esta é uma implementação bastante básica do método de Newton. Observe que eu continuo diminuindo a estimativa inicial pela metade até que a condição da qual falamos anteriormente seja satisfeita. Também estou tentando encontrar a raiz quadrada de 5. Sabemos que isso é aproximadamente igual a 2.236 ou mais. O uso do código acima fornece a seguinte saída:
Initial guess: 0.500000
Iteration #1: 0.500000
Iteration #2: 0.437500
Iteration #3: 0.446899
Iteration #4: 0.447213
Square root is: 2.236068
Done!
Observe que o método de Newton é encontrar a solução da solução recíproca e multiplicamos por no final para obter nossa resposta final. Além disso, observe que o palpite inicial foi alterado para garantir que os critérios mencionados acima sejam atendidos. Apenas por diversão, vamos tentar encontrar a raiz quadrada de 9876.a
Initial guess: 0.015625
Iteration #1: 0.015625
Iteration #2: 0.004601
Iteration #3: 0.006420
Iteration #4: 0.008323
Iteration #5: 0.009638
Iteration #6: 0.010036
Iteration #7: 0.010062
Square root is: 99.378067
Done!
Como você pode ver, a única coisa diferente é quantas iterações são necessárias para calcular a raiz quadrada. Quanto maior o número do que você deseja calcular, mais iterações serão necessárias.
Eu sei que esse método já foi sugerido em uma postagem anterior, mas achei que derivaria o método e forneceria algum código!