Encontrando a transformação z de para e zero para

Então, estou tentando decidir se a parte do cosseno deve ser conectada ao ou se é estritamente parte de . (o número a está no disco da unidade aberta) $z$ $h[n]$

Quero dizer, eu tinha certeza de que tudo fazia parte de mas, ao executar a transformação z, recebo essa função racional $h[n]$

\frac{1 - a \cos (2 π \frac{f_{0}}{F_{s}}) z^{- 1}}{1 - 2 a \cos (2 π \frac{f_{0}}{F_{s}}) z^{- 1} + a^{2} z^{- 2}}

$\frac{1 - a\cos(2\pi\frac{f_0}{F_s})z^{-1}}{1-2a\cos(2\pi\frac{f_0}{F_s})z^{-1} + a^2z^{-2}}$

O problema é que devo avaliar os pólos e os zeros e, se você ignorar as partes do cosseno, obtém uma expressão racional realmente agradável, que fatora e simplifica até . $\displaystyle\frac{z}{z-a}$

Então isso me fez pensar que talvez eu não esteja entendendo as coisas corretamente e a parte do cosseno deve estar conectada ao ou algo assim. Alguém pode esclarecer isso pra mim? $z$

z-transform

— Zaubertrank
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Dica: Use a identidade de Euler para expressar como a soma de duas funções exponenciais complexas e depois some a série geométrica resultante. Ler minha resposta para sua outra pergunta pode ajudar a descobrir o que significam séries geométricas.

\cos (2 π n / F_{0} f_{0})

$\cos(2\pi n/F_0 f_0)$

— precisa

Fiz tudo isso, foi assim que consegui a expressão racional acima. Desde que eu publiquei isso, eu pude calcular e obter os pólos e zeros, obrigado por sua ajuda. Na verdade, você poderia me fazer um sólido e me dizer o código do matlab necessário para plotar a resposta de frequência deste sistema com a = 0,8, F_s = 128 ef_0 = 32? Obrigado.

— Zaubertrank 17/03/2012

Você conseguiu dois pólos conjugados complexos em locais no círculo de raio? No que diz respeito ao MATLAB, lamento não poder ajudá-lo, pois não estou familiarizado com a sintaxe do MATLAB. Espere um pouco e tenho certeza de que alguém o ajudará.

| a |

$|a|$

— Dilip Sarwate

Sim, foi onde eu os peguei.

— Zaubertrank 17/03/2012

O @Zaubertrank "freqz" funciona muito bem na análise de desempenho de filtros no Matlab.

— Jim Clay

Respostas:

O sinal no domínio do tempo (ou resposta ao impulso)

h (n) = a^{n} \cos n θ_{0}, θ_{0} = 2 π \frac{f_{0}}{f_{s}}, n \geq 0

$h(n)=a^{n}\cos n\theta_0,\quad \theta_0=2\pi\frac{f_0}{f_s},\; n\ge 0$

é muito comum: é uma função sinusoidal amortecida (assumindo ) que ocorre com freqüência, porque é uma resposta possível de um sistema linear de segunda ordem invariante no tempo. Portanto, com relação à sua dúvida, a parte do cosseno deve ser definitivamente parte do sinal no domínio do tempo. Os pólos e zeros podem ser encontrados reescrevendo : $|a|<1$ $H(z)$

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} H (z) & = \frac{1 - a z^{- 1} \cos θ_{0}}{1 - 2 a z^{- 1} \cos θ_{0} + a^{2} z^{- 2}} \\ = \frac{z (z - a \cos θ_{0})}{z^{2} - 2 a z \cos θ_{0} + a^{2}} \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}H(z)&=\frac{1-az^{-1}\cos \theta_0}{1-2az^{-1}\cos\theta_0+a^2z^{-2}}\\&= \frac{z(z-a\cos \theta_0)}{z^2-2az\cos\theta_0+a^2}\end{align}\tag{1}$

De (1) é fácil determinar os zeros de : $H(z)$

z_{0, 0} = 0 z_{0, 1} = a \cos θ_{0}

$z_{0,0}=0\quad z_{0,1}=a\cos\theta_0$

Para determinar os pólos, escrevemos como uma expansão parcial da fração: $H(z)$

\begin{matrix} (2) & H (z) = \frac{1}{2} [\frac{1}{1 - a e^{j θ_{0}} z^{- 1}} + \frac{1}{1 - a e^{- j θ_{0}} z^{- 1}}] \end{matrix}

$H(z)=\frac{1}{2}\left [ \frac{1}{1-ae^{j\theta_0}z^{-1}} + \frac{1}{1-ae^{-j\theta_0}z^{-1}} \right ]\tag{2}$

Em (2), vemos que os polos são dados por Temos polos conjugados complexos porque é com valor real. Assumindo que é uma resposta de impulso, podemos ver pelos polos que o sistema é estável se porque então os polos estão dentro do círculo unitário do plano complexo.

z_{\infty, 0} = a e^{j θ_{0}} z_{\infty, 1} = a e^{- j θ_{0}}

$z_{\infty,0}=ae^{j\theta_0}\quad z_{\infty,1}=ae^{-j\theta_0}$

h (n)

$h(n)$

h (n)

$h(n)$

| a | < 1

$|a|<1$

— Matt L.
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A transformação Z de será: Espero que seja útil $x(n) = a^ncos(nθ)u(n)...$ insira a descrição da imagem aqui

— RAM
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Você se importaria de colocá-lo no TeX, em vez de na foto?

— jojek