Responderei à pergunta 2 primeiro e espero que ajude a explicar o que está acontecendo com a pergunta 1.
Quando você coleta um sinal de banda de base, existem aliases implícitos do sinal de banda de base em todos os múltiplos inteiros da frequência de amostragem, conforme mostrado na figura abaixo.
A imagem sólida é o sinal da banda base original e os aliases são representados pelas imagens tracejadas. Eu escolhi um sinal assimétrico (isto é, complexo) para ajudar a demonstrar a inversão que ocorre em múltiplos ímpares da frequência de amostragem.
Você pode perguntar: "Os apelidos realmente existem?" É um pouco de uma pergunta filosófica. Sim, no sentido matemático eles existem, porque todos os aliases (incluindo o sinal da banda de base) são indistinguíveis um do outro.
Quando você amplia a amostra inserindo zeros entre as amostras originais, você aumenta efetivamente a taxa de amostragem pela taxa de ampliação. Portanto, se você fizer uma ampliação por um fator de dois (colocando um zero entre cada amostra), você aumenta sua taxa de amostragem e a taxa de Nyquist em um fator de 2, resultando na figura abaixo.
Como você pode ver, um dos aliases implícitos na imagem anterior agora se tornou explícito. Se você colocar as amostras em FFT, elas aparecerão. Uma prova não rigorosa de que a transformação DFT não muda fundamentalmente é apresentada abaixo.
Agora que você tem os dois aliases explícitos, se você quiser apenas o alias da banda base, precisará passar pelo filtro passa-baixo para se livrar do outro alias. Às vezes, porém, as pessoas usam os outros pseudônimos para modulá-las. Nesse caso, você passaria no filtro passa-alto para se livrar do sinal da banda base. Espero que responda à pergunta 2.
A questão 1 é basicamente o inverso da questão 2. Suponha que você já esteja na situação mostrada na segunda figura. Existem duas maneiras de obter o sinal da banda base que você deseja. A primeira maneira é passar o filtro passa-baixo (eliminando o apelido mais alto) e depois dizimar por um fator de dois. Isso leva você a imagem # 1.
A segunda maneira é passar o filtro passa-alto (se livrar do alias da banda de base) e depois dizimar por um fator de dois. A razão pela qual isso funciona é que você está intencionalmente fazendo o alias do sinal na banda de base, assim, mais uma vez, fazendo com que você imagine a primeira imagem.
Por que você gostaria de fazer dessa maneira? Como na maioria das situações, os sinais não serão os mesmos, portanto, você pode escolher qual sinal deseja ou fazer os dois separadamente.
Se você estiver estudando o processamento de várias taxas, eu recomendo obter o "Processamento de Sinais Multirados para Sistemas de Comunicação" de Frederic Harris. Ele faz um bom trabalho em explicar a teoria sem descuidar da matemática e também oferece muitos conselhos práticos.
EDIT: A amostragem intencional de um sinal abaixo da taxa de Nyquist é chamada de subamostragem . A seguir, é minha tentativa de explicar matematicamente por que a FFT não muda quando você amplia a amostra. "x [n]" é o conjunto original de amostras, "u" é o fator de aumento de amostragem e "x '[n]" é o conjunto de amostras com aumento de amostragem.
X[k]X′[k]==x===∑n=0N−1x[n]e−i2πkn/N∑n=0uN−1x′[n]e−i2πkn/uN,{′[n]=x[n/u],n=mu∑n=0N−1x′[un]e−i2πkun/uN∑n=0N−1x[n]e−i2πkn/NX[k]x′[n]=0,n≠mu,m∈(0..N−1)
Desculpas pela formatação feia. Eu sou um noob do LaTex.
EDIT 2: Eu deveria ter apontado que os DFT de x [n] e x '[n] não são verdadeiramente idênticos. A taxa de amostragem é mais alta, o que, como expliquei na parte anterior da resposta, faz com que os aliases sejam "expostos". Eu estava tentando apontar, da minha maneira não matemática, que os DFTs são, além da taxa de amostragem, os mesmos.
