O que é a transformação da função sequência de Bessel

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Qual é a transformação da sequência para ? $\mathcal Z$ $J_0(\alpha n)$ $n \in \mathbb{Z}$

A transformação de Fourier de zero ordem da função de Bessel é conhecida por ser para . Isso tem um pólo em . Isso significa que a transformação também terá um polo no círculo unitário? $^{\rm th}$ $J_0(\alpha x)$ $\frac{2}{\sqrt{\alpha^2 - \omega^2}}$ $|\omega| < \alpha$ $\omega = \alpha$ $\mathcal Z$

EDITAR:

O problema que estou vendo envolve amostras discretas da função Bessel, isto é, . Como devo proceder para determinar a transformação ? $J_0(n)$ $\mathcal Z$

fourier-transform z-transform

— sauravrt
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Estou curioso, qual é a aplicação para isso?

— Nibot 23/03

@nibot Estou trabalhando com o modelo de ruído isotrópico e, para o caso 2D, os elementos da matriz de covariância a ruído são funções de Bessel de ordem zero de primeira ordem. E os valores próprios da cov. a matriz está relacionada à transformação Z da sequência da função de Bessel.

— sauravrt

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A expansão de Taylor para a função Bessel de primeira ordem e 0ª ordem é

J_{0} (x) = \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{m}}{(m!)^{^{2}}} {(\frac{1}{2} x)}^{2 m}

$J_{0}\left ( x \right )= \sum_{m=0}^{\infty }\frac{(-1)^{m}}{(m!)^{^{2}}}\left ( \frac{1}{2}x \right )^{2m}$

(consulte http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function )

Então você pode basicamente aproximar isso como a transformação Z de um polinômio.

— Hilmar
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Você pode aplicar a definição da transformação a uma expressão equivalente da função Bessel ou a uma aproximação. $\mathcal Z$

A função equivalente pode ser:

\begin{aligned} J_{0} (x) & = \frac{1}{π} \cos (x \cos ϕ) d ϕ \\ = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} (1 - \frac{x^{2} \cos^{2} ϕ}{2!} + \frac{x^{4} \cos^{4} ϕ}{4!} - \frac{x^{6} \cos^{6} ϕ}{6!} + \dots) d ϕ \end{aligned}

$\begin{align} J_0(x) &= \frac 1\pi\cos\left(x\cos\phi\right)d\phi\\ &=\frac 1\pi\int_0^\pi\left(1-\frac{x^2\cos^2\phi}{2!}+\frac{x^4\cos^4\phi}{4!}-\frac{x^6\cos^6\phi}{6!}+\cdots\right)d\phi \end{align}$

Atualização :

Mais informações sobre expressões equivalentes estão aqui .

— Luis Andrés García
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A aproximação para está ausente no sinal integral na primeira etapa. Não consigo ver você obter a transformação Z aproximada. Eu tive outra idéia, usando a aproximação .Eu tentei essa abordagem e acabei com a transformação Z envolvendo a função polilogarítmica . (Usado Mathematica).

J_{0} (x)

$J_0(x)$

J_{0} (x) = \sqrt{(} \frac{2}{x π} c o s (x - π / 4)

$J_0(x) = \sqrt(\frac{2}{x \pi} cos(x - \pi/4)$

— sauravrt

Acredito que a aproximação de que ele está falando é uma aproximação para a função Bessel modificada do primeiro tipo (se a memória me servir). O representa o argumento para a função, não como em -Transforme. Ele está apontando que, em vez de avaliar a soma da transformação diretamente, você poderia usar outra forma equivalente ou aproximadamente equivalente à função de interesse que seria mais fácil de transformar.

I_{0} (z)

$I_0(z)$

z

$z$

z

$z$

z

$z$

z

$z$

— Jason R

Sua apreciação sobre a aproximação foi verdadeira. Eu editei minha resposta.

— Luis Andrés García