A instabilidade torna um sistema LTI não linear (ou variante no tempo)?

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Estou tirando essa pergunta da pergunta de johnny . Matt L. e eu tivemos conclusões diretamente opostas à pergunta de johnny.

Quero dissociar a questão de questões de causalidade e outras coisas bobas.

Portanto, temos um sistema recursivo simples de primeira ordem descrito com a equação de E / S no domínio do tempo:

y [n] = p \cdot y [n - 1] + x [n] \forall n \in Z

$y[n] = p \cdot y[n-1] \ + \ x[n] \quad \quad \forall n \in \mathbb{Z}$

Obviamente, a transformação Z disso é

Y (z) = p \cdot z^{- 1} Y (z) + X (z)

$Y(z) = p \cdot z^{-1} Y(z) \ + \ X(z)$

e função de transferência

H (z) ≜ \frac{Y (z)}{X (z)} = \frac{z}{z - p}

$H(z) \triangleq \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{z}{z-p}$

Normalmente, identificaríamos isso como um sistema de LTI simples e realizável, com zero em e pólo em . Mas na outra questão, existe uma questão relativa à linearidade e invariância no tempo para o caso em que . $0$ $p$ $p=-1 \$

Para quais valores $p$ esse sistema é linear? Para quais valores $p$ esse sistema é invariante no tempo?

Creio que este é o núcleo do desacordo que tenho com o Dr. Matt L.

linear-systems transfer-function

— Robert Bristow-Johnson
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Se o expandirmos para sua forma inicial. Teoricamente, o sistema é sempre linear.

— aluno

ok @learner, então se , então MattL sugere que você pode ter para a entrada na saída incluindo diferente de zero . a entrada é identicamente zero, a saída é diferente de zero. esse sistema pode ser linear?

p = - 1

$p=-1$

x [n] = 0 \forall n

$x[n]=0 \ \forall n$

y [n] = A (- 1)^{n} \forall A \in R

$y[n] = A (-1)^n \quad \forall A \in \mathbb{R}$

A

$A$

— Robert Bristow-johnson

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Esclareça: para quais números inteiros o relacionamento válido? Para todos os números inteiros ? Para ? Para ? E nos dois últimos casos, especifique qual é o valor de (respectivamente ), pois concordamos que ou .

n

$n$

y [n] = p \cdot y [n - 1] + x [n]

$y[n] = p \cdot y[n-1] \ + \ x[n]$

n

$n$

n \geq 0

$n \geq 0$

n > 0

$n > 0$

y [- 1]

$y[-1]$

y [0]

$y[0]$

y [0] = - p y [- 1] + x [0]

$y[0]=-py[-1]+x[0]$

y [1] = - p y [0] + x [1]

$y[1]=-py[0]+x[1]$

— precisa saber é o seguinte

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Eu nunca tinha colocado uma restrição sobre isso. na outra questão, eu estava explícito que . Eu deveria ter dito isso aqui, mas eu negligenciei. então eu vou modificar a pergunta. na minha opinião, se não for especificado, a suposição é que não há restrição.

n \in Z

$n\in\mathbb{Z}$

— Robert bristow-johnson

e como você pode derivar ou qualquer outro específico disso. se você assume causalidade, recebe um lado direito . se você assume anti-causalidade (que não é a maneira como afirmei a equação da diferença), você obtém um lado esquerdo . nos dois casos, isso afeta um limite ou outro para o somatório da convolução.

y [n] = \sum_{i = - \infty}^{+ \infty} h [i] x [n - i]

$y[n] = \sum\limits_{i=-\infty}^{+\infty} h[i] x[n-i]$

y [0]

$y[0]$

y [n]

$y[n]$

h [n]

$h[n]$

h [n]

$h[n]$

— Robert Bristow-johnson

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Não sei como a discussão chegou a esse ponto, mas é bastante complicado seguir esse período de tempo. É uma equação de diferença comum com coeficientes constantes, portanto, define um sistema linear, invariante no tempo. Não há necessidade de avançar mais se houver uma solução única . Aqui temos um problema com a parte enfatizada.

Vamos primeiro escrever as equações do espaço de estado do descritor: o sistema é descrito por

\begin{aligned} [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} s_{1} [k + 1] \\ s_{2} [k + 1] \end{matrix}] & = [\begin{matrix} p & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} s_{1} [k] \\ s_{2} [k] \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] x [k] \\ y [k] & = [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} s_{1} [k] \\ s_{2} [k] \end{matrix}] + [1] x [k] \end{aligned}

$\begin{align} \begin{bmatrix}1&-1\\0&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}s_1[k+1]\\s_2[k+1]\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}p&0\\0&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}s_1[k]\\s_2[k]\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}x[k]\\ y[k] &= \begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}s_1[k]\\s_2[k]\end{bmatrix} +[1]x[k] \end{align}$

Agora é aqui que acho que é a parte problemática. Esse sistema, apesar de ser LTI, não é regular (as palavras-chave relevantes são sistemas descritores regulares , isentos de impulso e de índice 1). Em outras palavras, não existe para o qual a expressão é diferente de zero e, portanto, um dos modos é e, de fato, é para este exemplo. Isso significa que nosso sistema possui problemas de exclusividade da solução. Ao contrário do sistema causal de LTI, não há garantia da existência de uma solução exclusiva. Não há garantia de uma solução admissível para esse assunto (sistemas impulsivos de chavão). Portanto, o raciocínio LTI das outras respostas não será suficiente. $\lambda$ $\det(\lambda E-A)$ $\frac{\bullet}{0}$ $\frac{0}{0}$

E é isso que causa o problema, até onde posso dizer pelo argumento de Matt L, que ele encontrou duas soluções não triviais distintas para o mesmo sistema e concluiu que esse não pode ser um sistema linear. Mas isso também pressupõe a singularidade e a existência de uma solução e condições iniciais.

Ele difere apenas dos sistemas regulares na maneira em que a exclusividade e a existência de garantias dos sistemas LTI padrão não podem ser assumidas. Os modelos não podem mais ser considerados como tendo trajetórias admissíveis para todos os sinais possíveis.

— percusse
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A resposta é não. Para rotular um sistema de tempo discreto como LTI, procuramos apenas suas propriedades de linearidade e invariância do tempo e não precisamos nos preocupar se é estável ou não. Essa é outra propriedade independente de um sistema que pode coexistir mutuamente com outras propriedades. E, de fato, muitos sistemas de LTI são instáveis e ainda são sistemas de LTI. Para uma abundância de exemplos, consulte o livro de Alan Oppenheim: Signals & Systems, 2ed, capítulo 2. (ou qualquer outro livro de faculdade sobre sinais e sistemas, ou processamento de sinal digital). Considere, por exemplo, filtros IIR não estáveis que ainda são lineares e tempo invariável. (de fato, seu exemplo é um desses)

Chegando ao seu LCDDE que supostamente define um sistema de tempo discreto recursivo, como você deve saber, o próprio LCDDE não é suficiente para especificar exclusivamente uma solução, pois você também precisa de um conjunto de condições auxiliares (condições iniciais). Sem essas condições iniciais definidas explicitamente, você não pode resolver a equação nem determinar se o sistema que representa será LTI ou causal. Porque, para algumas condições iniciais, pode não ser causal, não linear e variar no tempo, enquanto para outro conjunto (ou seja, as condições iniciais de descanso) será linear, invariante no tempo e causal. Portanto, para que um único LCCDE represente exclusivamente um sistema LTI, suas condições iniciais devem ser definidas corretamente como repouso inicial e não arbitrariamente ...

— Fat32
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Linearidade e invariância no tempo não dependem do valor de . Os dois possíveis sistemas lineares e invariantes no tempo (LTI) descritos pela equação da diferença $p$

\begin{matrix} (1) & y [n] = p \cdot y [n - 1] + x [n], p \neq 0 \end{matrix}

$y[n]=p\cdot y[n-1]+x[n]\tag{1},\quad p\neq 0$

são dados pela transformação inversa da função de transferência, conforme formulado na pergunta: $\mathcal{Z}$

\begin{matrix} (2) & H (z) = \frac{z}{z - p} \end{matrix}

$H(z)=\frac{z}{z-p}\tag{2}$

Observe que (2) não define exclusivamente uma resposta de impulso, a menos que a região de convergência (ROC) de seja fornecida. Para a função de transferência (2), existem dois ROCs possíveis:e. No primeiro caso, a resposta de impulso correspondente é do lado direito e corresponde a um sistema causal de LTI: $H(z)$ $|z|>|p|$ $|z|<|p|$

\begin{matrix} (3) & h_{1} [n] = p^{n} u [n] \end{matrix}

$h_1[n]=p^nu[n]\tag{3}$

onde é a função de etapa da unidade. Se escolhermoscomo o ROC, obtemos uma resposta de impulso do lado esquerdo correspondente a um sistema anti-causal: $u[n]$ $|z|<|p|$

\begin{matrix} (4) & h_{2} [n] = - p^{n} u [- n - 1] \end{matrix}

$h_2[n]=-p^nu[-n-1]\tag{4}$

Se , o sistema LTI causal caracterizado por é estável, e o sistema LTI anti-causal caracterizado por é instável e, se o oposto se mantém. $|p|<1$ $h_1[n]$ $h_2[n]$ $|p|\ge 1$

Até agora, vimos que a equação da diferença (1) define dois sistemas de LTI, um causal e o outro anti-causal. As duas respostas de impulso correspondentes e são soluções da equação da diferença (1) para . No entanto, essas não são as únicas soluções de (1). É bem conhecido da teoria das equações de diferença linear que a solução geral é dada por uma solução específica para alguns , e por uma solução para a equação homogênea definida por . Para a equação da diferença dada, a equação homogênea correspondente é $h_1[n]$ $h_2[n]$ $x[n]=\delta[n]$ $x[n]$ $x[n]=0$

\begin{matrix} (5) & y [n] = p \cdot y [n - 1] \end{matrix}

$y[n]=p\cdot y[n-1]\tag{5}$

A solução de (5) é

\begin{matrix} (6) & y_{h} [n] = c \cdot p^{n}, c \in R \end{matrix}

$y_h[n]=c\cdot p^n,\quad c\in \mathbf{R}\tag{6}$

Agora podemos expressar a solução geral de (1) (com ) combinando uma solução específica ( ou ) com : $x[n]=\delta[n]$ $h_1[n]$ $h_2[n]$ $y_h[n]$

\begin{matrix} (7) & y [n] = h_{1} [n] + y_{h} [n] = h_{1} [n] + c \cdot p^{n} \end{matrix}

$y[n]=h_1[n]+y_h[n]=h_1[n]+c\cdot p^n\tag{7}$

Observe que a solução pode ser obtida em (7) escolhendo . Observe também que (7) é válido para todos os . $h_2[n]$ $c=-1$ $n\in\mathbf{Z}$

Se escalássemos o sinal de entrada e com algum , a saída resultante seria $x_1[n]=a\delta[n]$ $a\in\mathbf{R}$

\begin{matrix} (8) & y_{1} [n] = a \cdot h_{1} [n] + c \cdot p^{n} \end{matrix}

$y_1[n]=a\cdot h_1[n]+c\cdot p^n\tag{8}$

Esse sinal de saída geralmente não é igual a (com fornecido por (7)), a menos que ou . Consequentemente, o sistema correspondente não é linear. Para o sinal de entrada a saída é $a\cdot y[n]$ $y[n]$ $c=0$ $c=-1$ $x_2=\delta[n-n_0]$

\begin{matrix} (9) & y_{2} [n] = h_{1} [n - n_{0}] + c \cdot p^{n} \end{matrix}

$y_2[n]=h_1[n-n_0]+c\cdot p^n\tag{9}$

que geralmente não é igual a (novamente, a menos que ou ). Portanto, o sistema correspondente também não é invariante no tempo. $y[n-n_0]$ $c=0$ $c=-1$

Em suma, a equação da diferença (1) descreve infinitamente muitos sistemas com respostas ao sinal de entrada dado por (7). Apenas dois desses sistemas são LTI, os outros não. Os dois sistemas de LTI são descritos pelas respostas de impulso e fornecidas por (3) e (4), respectivamente. $x[n]=\delta[n]$ $h_1[n]$ $h_2[n]$

— Matt L.
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então, basicamente, o sistema descrito por esta equação não é LTI. ou não necessariamente LTI. direita? agora, para simplificar a discussão, você pode concordar que o motivo de afirmar que não é LTI é porque com uma entrada que é identicamente zero , que o a saída pode ser diferente de zero e ?

y [n] = p \cdot y [n - 1] + x [n] \forall n \in Z

$y[n] = p \cdot y[n-1] \ + \ x[n] \quad \quad \forall n \in \mathbb{Z}$

$\$

x [n] = 0 \forall n \in Z

$x[n]=0 \ \forall n \in \mathbb{Z}$

y [n] = c \cdot p^{n} \forall n \in Z

$y[n] = c \cdot p^n \ \forall n \in \mathbb{Z}$

c \neq 0

$c \ne 0 \$

— Robert Bristow-johnson

Além disso, se , isso poderia ser uma exceção à sua afirmação inicial de que "Linearidade e invariância no tempo não dependem do valor de " ?

p = 0

$p=0$ $p$

— Robert Bristow-johnson

e, finalmente, você está aparentemente negando que, mesmo para um escolhido corretamente , que não pode ser uma solução geral para ou sistemas descritos de maneira semelhante?

h [n]

$h[n]$

y [n] = \sum_{i = - \infty}^{+ \infty} h [i] x [n - i]

$y[n] = \sum\limits_{i=-\infty}^{+\infty} h[i] x[n-i]$

y [n] = p \cdot y [n - 1] + x [n] \forall n \in Z

$y[n] = p \cdot y[n-1] \ + \ x[n] \quad \quad \forall n \in \mathbb{Z}$

— Robert Bristow-johnson

MattL, você está interessado em abordar alguma dessas perguntas?

— 22675 Robert De Bristow-johnson #

@ robertbristow-johnson: Sim, mas você parece fazer muitas perguntas ao mesmo tempo, e eu sinto que a maioria delas já foi respondida explicitamente pela minha resposta à sua pergunta original. Mas vou dar uma chance ...

— Matt L.

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Acho essa discussão intrigante e queria acrescentar outro ponto de vista à mistura:

O sistema em consideração ( $y[n]=p⋅y[n−1] + x[n]$ ) pode ser pensado como um mapeamento de um espaço vetorial (dimensional infinito) para outro. Vamos chamar isso de mapeamento $M$ , e podemos (inicialmente) defini-lo como:

M : R^{Z} \to R^{Z}

$M : \mathbb{R}^\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}^\mathbb{Z}$

Essa terminologia diz que $M$ é um mapeamento de $\mathbb{R}^\mathbb{Z}$ (o espaço de todas as funções com valor real de uma variável inteira) para $\mathbb{R}^\mathbb{Z}$ .

Se o sistema tiver zeros (e o sistema em consideração aqui tiver zero em $z=1$ ), isso significa que nosso mapeamento $M$ não é um para um, porque dois sinais de entrada diferentes levarão ao mesmo sinal de saída. Por exemplo, para qualquer sinal de entrada, $x[n]$ , Nós podemos dizer que $M(x)=M(x+\lambda)$ para qualquer real $\lambda$ .

O conjunto de funções que são "zeros" do nosso sistema pode ser definido como:

K_{z e r o s} = {f [n] = λ : \forall λ \in R}

$K_{zeros}=\{f[n]=\lambda:\forall \lambda \in \mathbb{R}\}$

Da mesma forma, observamos que, se nosso sistema tiver pólos (e o sistema em consideração aqui tiver zero em $z=-1$ ), isso significa que o mapeamento inverso, $M^{-1}$ não é um para um. Especificamente, $M^{-1}(x)=M^{-1}(x+\lambda(-1)^n)$ para qualquer real $\lambda$ .

O conjunto de funções que são "pólos" do nosso sistema pode ser definido como:

K_{p o l e s} = {f [n] = λ (- 1)^{n} : \forall λ \in R}

$K_{poles}=\{f[n]=\lambda(-1)^n:\forall \lambda \in \mathbb{R}\}$

Agora, $\mathbb{R}^\mathbb{Z}$ é um espaço vetorial $K_{zeros}$ é um espaço vetorial e $K_{poles}$ é um espaço vetorial.

Agora podemos definir dois espaços quocientes (consulte a Wikipedia para obter mais informações sobre espaços quocientes):

Q_{i n p u t} = R^{Z} / K_{z e r o s}

$Q_{input} = \mathbb{R}^\mathbb{Z} / K_{zeros}$

Q_{o u t p u t} = R^{Z} / K_{p o l e s}

$Q_{output} = \mathbb{R}^\mathbb{Z} / K_{poles}$

Você pode pensar em $Q_{output}$ como sendo o subconjunto de $\mathbb{R}^\mathbb{Z}$ que não contém nenhum componente de sinal no formulário $\lambda(-1)^n$ ou, alternativamente, você pode pensar em $Q_{output}$ como sendo idêntico a $\mathbb{R}^\mathbb{Z}$ com classes de equivalência que nos dizem "para nossa aplicação atual, consideraremos qualquer função $y[n]$ ser equivalente a $y[n]+\lambda(-1)^n$ para qualquer real $\lambda$ "

Ao fazer isso, agora podemos redefinir um novo mapeamento $M'$ como um mapeamento de $Q_{input}$ para $Q_{output}$ . Esse novo mapeamento é realmente igual ao nosso antigo mapeamento, $M$ , exceto que reduzimos os espaços vetoriais nos quais ele opera. Além disso, esse novo mapeamento agora é uma bijeção (é "um para um" e "para"), portanto, é garantido que também seja invertível.

Finalmente, esse mapeamento, $M'$ é linear .

Portanto, o objetivo de toda essa explicação desmedida é que, definindo as classes de equivalência apropriadas (ou alternativamente, restringindo nosso espaço de funções permitidas a um subespaço de $\mathbb{R}^\mathbb{Z}$ ), podemos manter a propriedade de que nosso mapeamento deve ser linear (e invariável no tempo).

Por exemplo, as regras de linearidade nos dizem que, se $x[n]$ é um sinal de entrada e $\alpha$ é escalar real, então $M(\alpha x) = \alpha M(x)$ . Portanto, isso implica que, ao definir $\alpha=0$ , devemos, portanto, esperar que $M(0\times x)=y[n]=0$ (ou seja, se introduzirmos o sinal zero em nosso filtro, a saída deve ser $y[n]=0$ )

No entanto, sabemos que é possível ter uma situação em que a entrada para o filtro seja zero, mas a saída seja da forma $y'[n]=(-1)^n$ , então podemos ficar tentados a dizer "que prova que nosso sistema não é linear, porque $y'[n]$ é zero ". No entanto, você deve se lembrar que a classe de equivalência que aplicamos no espaço vetorial de saída diz que" para nosso aplicativo atual, consideraremos qualquer função $y[n]$ ser equivalente a $y[n]+\lambda(-1)^n$ para qualquer real $\lambda$ ", o que significa que $y'[n]=(-1)^n$ é equivalente a zero!

— dave_mc
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