Por que um expoente negativo presente nas transformadas de Fourier e Laplace?

Alguém poderia explicar por que há uma necessidade de expoente negativo nas transformadas de Fourier e Laplace.Eu olhei através da Web, mas não consegui nada. Será que algo acontece se um expoente positivo for colocado nessas transformações.

Ao examinar o http://1drv.ms/1tbV45S, ele diz que se se torna uma função que diminui rapidamente, enquanto que se se torna uma função que aumenta rapidamente, eu não poderia entender isso. Alguém pode ilustrar isso.$s>0$$s<0$

Matt está certo de que o sinal é uma convenção. Eu acho que há uma razão para isso além disso.

Se olharmos para frequências complexas no plano complexo, elas se parecem com vetores constantes que giram em uma direção ou outra. As frequências positivas giram no sentido anti-horário, as frequências negativas giram no sentido horário e as frequências "0 Hz" não giram.

A transformada de Fourier tem um sinal negativo para girar intencionalmente na direção oposta às frequências que eles estão "procurando".

A razão para a rotação oposta é que, quando os dois vetores de frequência são multiplicados, suas fases se cancelam repetidamente; portanto, quando os resultados são somados, haverá um vetor massivo devido a todos os vetores individuais alinhados.

$$X(f) = \sum\limits_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j2\pi kn/N}$$

É assim que a transformada de Fourier "procura" por frequências. Se as duas frequências forem iguais ou "próximas" (quão próximas elas precisam estar depende do comprimento da DFT), elas se alinham bem e causam uma resposta maciça no somatório. Eu mostrei como isso funciona para a transformada discreta de Fourier (DFT), mas o mesmo raciocínio se aplica à transformação contínua.

Espero que isso explique por que a transformada de Fourier iria querer que os vetores girassem na direção oposta. Para ser perfeitamente sincero, não sei se a Laplace se transforma suficientemente bem para fornecer um sólido raciocínio para seu sinal negativo. Como as duas transformações estão intimamente relacionadas (a transformada de Laplace é uma generalização da transformada de Fourier), presumo que seja por razões semelhantes.

Para a transformação de Fourier, o sinal do expoente é pura convenção. Observe que, para a transformação inversa, você tem um sinal positivo no expoente. Você também pode definir a conversão de Laplace com um sinal positivo no expoente. Em qualquer caso, você deseja que o amortecimento exponencial da função no domínio do tempo seja transformado, portanto a parte real do expoente complexo deve ser negativa. Se você mudou$s$ para $-s$ então a região de convergência da transformação unilateral de Laplace mudaria de $\Re\{s\}>a$ para $\Re\{s\}<a$ para alguma constante com valor real $a$.

eu diria apenas que a convenção original é representar sinusóides complexos com um expoente positivo. então um "fasor" de tensão seria

$$v(t) = V e^{j \omega t}$$

($V$ é uma constante complexa e $|V|$ representa a magnitude do fasor e $\arg\{V\}$ representa a fase do fasor.) Suponho que poderíamos definir a convenção como

$$v(t) = V e^{-j \omega t}$$

mas minha pergunta seria "por que se preocupar?"

por que um exponencial complexo? Porque$e^{s t}$é uma função própria (essencialmente a função própria) de sistemas lineares invariantes no tempo (LTI), aos quais aplicamos as transformações de Fourier e Laplace. quando$e^{s t}$ entra em um sistema de LTI, algumas vezes $e^{s t}$ sai.

Os sistemas LTI podem ser completamente descritos por, ou ter sua relação de entrada / saída completamente descrita por sua resposta ao impulso $h(t)$. essa descrição é convolução:

$$y(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) x(t-\tau) \ d \tau$$

se a entrada for

$$x(t) = e^{s t}$$

a saída é

$$\begin{align} y(t) & = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) x(t-\tau) \ d \tau \\ & = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) e^{s (t-\tau)} \ d \tau \\ & = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) e^{-s \tau} \ d \tau \ \ e^{s t} \\ & = H(s) \ e^{s t} \\ & = H(s) \ x(t) \\ \end{align}$$

tão $x(t)=e^{s t}$ é uma função própria e o valor próprio, o que escala a função própria em um sistema de LTI é $H(s)$ e diretamente relacionado a $h(t)$.

então o resto é sobre Fourier. então Fourier generaliza um pouco, primeiro com um periódico$x(t)$ que Fourier postula que pode ser representado com sinusóides todos tendo o mesmo período que $x(t)$.

$$x(t+T) = x(t) \quad \forall t$$

$$x(t) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} X[k] \ e^{j \frac{2 \pi k}{T} t}$$

ainda é a convenção original: defina o sinal como um fasor $e^{j \omega t}$. o expoente positivo permanece. $X[k]$são os "coeficientes de Fourier" .

então sabemos que a saída é

$$\begin{align} y(t) & = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} H\left(j \frac{2 \pi k}{T} \right) X[k] \ e^{j \frac{2 \pi k}{T} t} \\ & = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} Y[k] \ e^{j \frac{2 \pi k}{T} t} \\ \end{align}$$

outra função periódica, com o mesmo período, mas com diferentes coeficientes de Fourier.

então positivo $\omega$ no expoente.

Então, quais são esses coeficientes de Fourier?

$$\begin{align} \int\limits_{0}^{T} x(t) e^{-j \frac{2 \pi m}{T} t} \ dt & = \int\limits_{0}^{T} x(t) e^{-j \frac{2 \pi m}{T} t} \ dt \\ & = \int\limits_{0}^{T} \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} X[k] e^{j \frac{2 \pi k}{T} t} e^{-j \frac{2 \pi m}{T} t} \ dt \\ & = \int\limits_{0}^{T} \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} X[k] e^{j \frac{2 \pi (k-m)}{T} t} \ dt \\ & = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} X[k] \int\limits_{0}^{T} e^{j \frac{2 \pi (k-m)}{T} t} \ dt \\ \end{align}$$

para cada $k$ na soma em que $k \ne m$, a integral é zero, portanto o termo na soma é zero.

$$\int\limits_{0}^{T} e^{j \frac{2 \pi (k-m)}{T} t} \ dt = \begin{cases} 0, & \text{for } k \ne m \\ T, & \text{for } k = m \end{cases}$$

para o termo único diferente de zero, quando $k=m$, temos

$$\int\limits_{0}^{T} x(t) e^{-j \frac{2 \pi m}{T} t} \ dt = X[m] T$$

tão

$$X[m] = \frac{1}{T} \ \int\limits_{0}^{T} x(t) e^{-j \frac{2 \pi m}{T} t} \ dt$$

é daí que o expoente negativo vem. precisamos que o expoente seja negativo para que apenas o$m^{\text{th}}$ termo no somatório sobrevive (quando $k=m$ e $e^{j \frac{2 \pi (k-m)}{T} t}=1$), isolando assim um único $X[m]$então sabemos o que é. caso contrário, seria o$-m^{\text{th}}$ longo prazo e teríamos que mudar a convenção em nossa definição original de $x(t)$.

isso permanece essencialmente o caso, pois a representação da série de Fourier é generalizada para não periódica $x(t)$, onde o somatório se torna uma integral. porque definimos nosso sinal como uma espécie de somatório integral dessas funções próprias exponenciais (com expoentes positivos):

$$x(t) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} X(j \omega) e^{j \omega t} \ d \omega$$

novamente, para obter esses "coeficientes" de Fourier, precisamos de um expoente negativo:

$$X(j \omega) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j \omega t} dt$$

Laplace generaliza ainda mais, permitindo que esse valor puramente imaginário $j \omega$ para ser um valor complexo mais geral, $s = \sigma + j \omega$. mas isso não altera a convenção de assinatura.

O expoente negativo na transformação direta é necessário e inevitável, porque os axiomas internos do produto para vetores ou funções complexas sem conjugação são inconsistentes.

Por exemplo, o produto interno de um vetor complexo por si só não seria real e não negativo sem conjugação.