Por que a transformação de Fourier de um pente Dirac é um pente Dirac?

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Isso não faz sentido para mim, porque a desigualdade de Heisenberg afirma que ~ 1. $\Delta t\Delta \omega$

Portanto, quando você tem algo perfeitamente localizado no tempo, obtém algo completamente distribuído em frequência. Portanto, o relacionamento básico que é o operador de transformação de Fourier . $\mathfrak{F}\{\delta(t)\} = 1$ $\mathfrak{F}$

Mas para o pente Dirac , aplicando a transformação Fourier, você recebe outro pente Dirac. Intuitivamente, você também deve obter outra linha.

Por que essa intuição falha?

fourier-transform

— Carlos - o Mangusto - Perigo
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Acredito que a falácia é acreditar que um pente Dirac está localizado no tempo. Não é por ser uma função periódica e, como tal, só pode ter componentes de frequência em múltiplos de sua frequência fundamental, ou seja, em pontos de frequência discretos. Não pode ter um espectro contínuo, caso contrário não seria periódico no tempo. Assim como qualquer outra função periódica, um pente Dirac pode ser representado por uma série de Fourier, ou seja, como uma soma infinita de exponenciais complexas. Cada exponencial complexo corresponde a um impulso Dirac no domínio da frequência em uma frequência diferente. A soma desses impulsos de Dirac fornece um pente de Dirac no domínio da frequência.

— Matt L.
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Sim, nenhum pente periódico está localizado em sua respectiva variável independente (tempo / frequência).

— Peter K.

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Sua intuição falha porque você está começando com suposições erradas. A incerteza de Heisenberg não diz o que você acha que diz. Como você já disse na sua pergunta, é uma desigualdade . Para ser preciso, é

Δ t \cdot Δ f \geq \frac{1}{4 π}

$\Delta t \cdot \Delta f \geq\frac{1}{4\pi}$

Não há razão para que o produto da incerteza tenha que estar próximo ao limite inferior para todos os sinais. De fato, os únicos sinais que atingem esse limite mais baixo são os átomos de Gabor. Para todos os outros sinais, espere que seja maior e possivelmente até infinito.

— Jazzmaniac
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Certo, mas a principal falácia é pensar que um pente Dirac está localizado no tempo. Não é porque é periódico. Portanto, o teorema da incerteza não diz nada de útil sobre um pente Dirac.

— Matt L.

@ MattL., Não é assim que entendo a pergunta original. Eu acho que ele está realmente argumentando que o trem dirac está totalmente deslocalizado em seu domínio nativo e, portanto, Fourier deve se transformar em algo muito localizado.

— 31415 Jazzmaniac #

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OK, parece que há um mal-entendido sobre o que o OP quer dizer com 'outra linha'. Eu pensei que isso se refere a um espectro plano (assim como o espectro de um impulso Dirac a que ele se referia anteriormente). Mas você pensou que isso se refere a uma linha espectral, ou seja, uma única frequência. Pelo menos agora eu entendo como sua resposta pode responder à pergunta do OP.

— Matt L.

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@ MattL., Na verdade, pensei que ele quis dizer a representação gráfica usual das distribuições Dirac quando ele escreve "line". De qualquer forma, ele precisará esclarecer, pois a pergunta pode ser realmente lida de pelo menos duas maneiras diferentes.

— Jazzmaniac

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bem, a definição "padrão" é uma declaração física que relaciona incertezas de momento e posição (especificamente desvios padrão) e tem um

lá. e, mesmo assim, neste caso, você tem que definir o que se entende por "

" e "

". essa constante (que você especifica como

ℏ

$\hbar$

Δ t

$\Delta t$

Δ f

$\Delta f$

) não pode estar muito longe da unidade (na escala de log), mas não precisa estar

\frac{1}{4 π}

$\frac{1}{4 \pi}$

exceto devido a uma definição específica para "

" e "

".

\frac{1}{4 π}

$\frac{1}{4 \pi}$

Δ t

$\Delta t$

Δ f

$\Delta f$

— 22815 Robert Bristow-Johnson #

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os engenheiros elétricos jogam um pouco rápido e solto com a função delta Dirac, que os matemáticos insistem que não é uma função (ou, pelo menos, não é uma função "regular", mas é uma "distribuição"). o facto matemático é que, se $f(t)=g(t)$ "quase em toda a parte" (o que significa a cada valor de $t$ , excepto para um número contáveis de valores discretos), em seguida,

\int f (t) d t = \int g (t) d t

$\int f(t)dt = \int g(t)dt$ .

bem, as funções $f(t)=0$ e $g(t)=\delta(t)$ são iguais em todos os lugares, exceto em $t=0$ , mas nós, engenheiros elétricos, insistimos que suas integrais são diferentes. mas se você deixar de lado essa pequena diferença (e, na minha opinião, não prática), a resposta para sua pergunta é:

a função de Dirac pente
${Eu Eu Eu}_{T} (t) ≜ \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} δ (t - k T)$ $\mathrm{III}_T(t) \triangleq \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(t - kT)$ é uma função periódica de período $T$ e, portanto, tem uma série de Fourier: ${I I I}_{T} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} c_{n} e^{j 2 π n t / T}$ $\mathrm{III}_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \ e^{j 2 \pi n t/T}$
se você eliminar os coeficientes, $c_n$ , da série Fourier, obtém:

\begin{aligned} c_{n} & = \frac{1}{T} \int_{t_{0 0}}^{t_{0 0} + T} {Eu Eu Eu}_{T} (t) e^{- j 2 π n t / T} d t \\ = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} δ (t) e^{- j 2 π n t / T} d t (k = 0 0) \\ = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} δ (t) e^{- j 2 π n 0 0 / T} d t \\ = \frac{1}{T} \forall n \end{aligned}

$\begin{align} c_n & = \frac{1}{T}\int\limits_{t_0}^{t_0+T} \mathrm{III}_T(t) e^{-j 2 \pi n t/T} dt \\ & = \frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-j 2 \pi n t/T} dt \quad \quad (k=0)\\ & = \frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-j 2 \pi n 0/T} dt \\ & = \frac{1}{T} \quad \quad \forall n \\ \end{align}$

então a série Fourier para o pente Dirac é

{Eu Eu Eu}_{T} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \frac{1}{T} e^{j 2 π n t / T}

$\mathrm{III}_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} \ e^{j 2 \pi n t/T}$

o que significa que você está apenas resumindo um monte de sinusóides de igual amplitude.

a transformada de Fourier de um único sinusóide complexo é:

F {e^{j 2 π f_{0 0} t}} = δ (f - f_{0 0})

$\mathfrak{F} \left\{ e^{j 2 \pi f_0 t} \right\} = \delta(f-f_0)$

e existe essa propriedade de linearidade em relação à transformada de Fourier. o restante da prova é um exercício deixado para o leitor.

— Robert Bristow-Johnson
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@ Jazzmaniac, isso é uma falsidade. Quando eu já condescendi com os matemáticos? (eu acho que você está projetando um pouco.) BTW, já faz 38 anos desde que eu fiz dois semestres de análise funcional no nível de pós-graduação. não me lembro de tudo, mas com certeza me lembro do que é um espaço métrico, um espaço métrico normalizado (acho que às vezes eram chamados de "espaços de Banach") e espaços internos do produto (às vezes chamados de "espaços de Hilbert"), e que funcional é (mapeia de um para um número). e eu sei o que são espaços lineares. sobre

, não me importo que estejam nus.

δ (t)

$\delta(t)$

— Robert Bristow-Johnson

Você continua com um argumento errado que sugere que os matemáticos não recebem 1 quando se integram em uma distribuição Dirac. Bem, você não pode demonstrar melhor que não entendeu a distribuição Dirac, mesmo que tenha participado de uma aula de análise funcional. Não precisa de engenheiros elétricos como você para "consertar" a matemática. E vou continuar apontando isso para você até que você pare de falar sobre matemáticos assim. É inteiramente sua escolha.

— Jazzmaniac

isso também é uma falsidade, @Jazzmaniac. estou dizendo que, consistente com o que os matemáticos nos dizem, a função delta do Dirac não é realmente uma função (mesmo que nós, engenheiros elétricos, não nos preocupemos com essa distinção e a tratemos como se fosse uma função), porque se fosse uma função função que era zero em quase todos os lugares, a integral seria zero. por que você continua me deturpando? qual é o machado que você está afiando?

— 22815 Robert Robinson-Johnson

@ robertbristow-johnson "os engenheiros elétricos jogam um pouco mais rápido com a função delta Dirac". Paul Dirac era um engenheiro elétrico. Claude Shannon também era engenheiro elétrico. Eu o aconselho a fazer declarações gerais e imprecisas. Você afirma ser um engenheiro elétrico e entende claramente a teoria da distribuição.

— Mark Viola

quase todos os manuais de graduação em engenharia elétrica sobre Teoria de Sistemas Lineares ou Sinais e Sistemas ou algum nome semelhante introduzirão e tratarão o Delta do Dirac como um caso limitante de um "delta nascente" . por exemplo:

ou alguma outra função de pulso da área da unidade que você pode tornar mais fina. não ficaria surpreso que, em artigos publicados, pessoas como Shannon ou Dirac (não soubessem disso) fiquem com os fatos conservadores:

e

δ (t) = lim_{uma \to 0 0} \frac{1}{uma \sqrt{π}} e^{- t^{2} / {uma}^{2}}

$\delta(t) = \lim_{a \to 0}\frac{1}{a \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-t^2/a^2}$

\int f (t) δ (t - τ) d t = f (τ)

$\int f(t) \delta(t-\tau) \ dt = f(\tau)$

.

δ (t) = 0 0 \forall t \neq 0 0

$\delta(t)=0 \quad \forall \ t \ne 0$

— robert bristow-johnson

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Vou tentar dar uma intuição. A maneira como poderíamos pensar é: "Um delta de Dirac nos dá um domínio de frequência 1. Agora, dou um número infinito de deltas de Dirac. Não devo obter um CD mais alto?" Agora vamos ver se, adicionando todos os componentes de frequência mencionados no Dirac comb no domínio da frequência (FD), obtemos outro Dirac comb no domínio do tempo (TD). Estamos adicionando formas de onda contínuas e obtendo deltas em pontos discretos. Soa estranho.

$\omega_0$ $0,\pm\omega_0,\pm2\omega_0,\pm3\omega_0$ $\cos(\omega_0 t), \cos(2\omega_0 t), \cos(3\omega_0 t)$ e assim por diante.

$t = \frac{2n\pi}{\omega_0}$

$cos(kn) ; n = 0,1,2,3,4...\infty$ $\pi$ $cos(kn)$ $cos(kn)$ $k = 2\pi$

$t=t_0 \neq 2r\pi$ $\cos(0\omega_0 t_0)[dc] + \cos(\omega_0 t_0) + \cos(2\omega _0 t_0) + \cos(3\omega_0 t_0)$ $t=t_0$ $t=\frac{2n\pi}{\omega _0}$

— TR subramaniano
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